Numeri e successioni: riflessioni metamatematiche, storiche e didattiche su di un brano leopardiano (4)

4. Dall'aspetto storico a quello didattico
Un'esplicita attenzione alla concezione operativa, dunque, è alla base di alcuni
importanti tentativi di formalizzazione dell'aritmetica. Un tale atteggiamento è
costante nella storia della matematica, come rilevano F. Arzarello, L. Bazzini e
G. Chiappini:
«Lo sviluppo del concetto di numero si può vedere come lo svolgimento di
una catena di passaggi dalle concezioni operative a quelle strutturali. D'altra
parte, anche prima che i processi generatori di nuovi numeri fossero considerati
come oggetti, i matematici li usavano e li combinavano in operazioni» (Arzarello,
Bazzini & Chiappini, 1994, p. 9).

Concludiamo osservando che l'annotazione storica secondo la quale molto
spesso l'aspetto operativo precede quello strutturale, assume una netta rilevanza
in numerose questioni di didattica della matematica (8).
A. Sfard, in una nota ricerca (1991), dopo avere sottolineato la sostanziale
astrazione che caratterizza la matematica (9), sottolinea la possibilità di
concepire (e di presentare) parallelamente i contenuti matematici in termini
strutturali (interpretandoli, dunque, come "oggetti") ed in termini operativi
(interpretandoli, dunque, come "processi"):
«Saper vedere un'entità matematica come un oggetto significa essere capaci
di riferirsi ad essa come ad una cosa reale, una struttura statica... e di manipolarla
come un tutto... Interpretare una nozione come processo significa considerarla
come entità potenziale piuttosto che attuale, che viene alla luce a fronte di
una sequanza di azioni. Quindi, mentre la concezione strutturale è statica..., itananea
e complessiva, quella operativa è dinamica, sequenziale e particolareggiata
» (Sfard, 1991, p. 4).
La Sfard, inoltre, estende tale distinzione alle codifiche (e l'Autrice sembra
qui riprendere idealmente le annotazioni di Leopardi precedentemente citate):
«Le codifiche verbali non possono essere colte 'a colpo d'occhio' e debbono
essere elaborate sequenzialmente, dunque sembrano più adatte per presentare
procedure di calcolo. In tal modo, la rappresentazione interna non iconica è più
pertinente al modo di pensare operativo» (Sfard, 1991, p. 7, con riferimento a:
Hadamard, 1949, p. 77).
Pur senza pretendere di esaurire un argomento assai profondo e delicato, anche
dal punto di vista epistemologico, possiamo dunque concludere che l'introduzione
operativa di molti concetti fondamentali della matematica (e, tra
questi, degli elementi dell'aritmetica) è una questione particolarmente
importante e dibattuta anche in ambito didattico.

Numeri e successioni: riflessioni metamatematiche, storiche e didattiche su di un brano leopardiano (3)

3. L'impostazione intuizionista: i numeri e il conteggio


Faremo quindi riferimento, in questo paragrafo, all'impostazione intuizionista
dell'aritmetica (5) di R.L. Goodstein (1957). Impiegheremo i seguenti simboli:
N operatore di conteggio
a, b, ..., l, ... oggetti
a&b, a&b&c, ..., L, L&a, ... insiemi di oggetti
Definiamo ricorsivamente l'atto del contare (6):
N(l) = 1
N(L&l) = N(l)+1
Sia S l'operatore che porta a considerare il successore (con Sx indicheremo
cioè il successore di x).
L'usuale operazione di addizione:
(a; b) → a+b
è definita ricorsivamente da:
x+0 = x
x+Sy = S(x+y)
Ad esempio, per determinare 6+3 si procede nel modo seguente:
6+0 = 6
6+1 = 7
6+2 = (6+1)+1 = 7+1 = 8
6+3 = (6+2)+1 = 8+1 = 9
La moltiplicazione:
(a; b) → F1(a; b) = a·b
è definita ricorsivamente da:
F1(x; 0) = 0


F1(x; Sy) = x+F1(x; y)
È quindi possibile una definizione ricorsiva di altre operazioni. Per ogni n
naturale, n≥2, definiamo ricorsivamente le operazioni:
Fn(x; 0) = 1
Fn(x; Sy) = Fn–1[x; Fn(x; y)]
Ad esempio, per n = 2 si ottiene la definizione ricorsiva di F2(a; b) = ab
(operazione di esponenziazione) (7):
F2(x; 0) = 1
F2(x; Sy) = F1[x; F2(x; y)] = x·xy
Per n = 3 si ottiene la definizione ricorsiva di un'operazione non usuale, che
possiamo indicare mediante la posizione F3(a; b) = ba:
F3(x; 0) = 1
F3(x; Sy) = F2[x; F2(x; y)] = (yx)x
Risulta ad esempio:
F3(x; 1) = 1x = x
F3(x; 2) = 2x = x^x
F3(x; 1) = 3x = x^x^x

Numeri e successioni: riflessioni metamatematiche, storiche e didattiche su di un brano leopardiano (2)

2. Uno sguardo alla storia:
l'impostazione assiomatica di Peano
Dal punto di vista storico, osserva N. Bourbaki:
«Prima del XIX secolo, pare non vi sia stato alcun tentativo di definire l'addizione
e la moltiplicazione dei numeri naturali se non richiamandosi
direttamente all'intuizione; Leibniz è il solo che, fedele ai propri principi, fa
espressamente notare che delle "verità evidenti" come 2+2 = 4 sono anch'esse
suscettibili di dimostrazione se si riflette sulle definizioni dei numeri che vi
figurano; egli non riteneva affatto come scontata la commutatività
dell'addizione e della moltiplicazione. Ma non spinge oltre le sue riflessioni a
questo proposito, e, verso la metà del XIX secolo, nessun progresso si era
ancora compiuto» (Bourbaki, 1963).
Con il lavoro Sul concetto di numero (1891), Giuseppe Peano (1858-1932),
rielaborando alcune idee introdotte da Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916)
nello scritto Was sind und was sollen die Zahlen? (1888), propose un'introduzione
assiomatica dell'aritmetica basata su tre concetti primitivi (l'unità, che in
una seconda stesura fu sostituita con lo zero; il numero; il successivo) e su sei
assiomi (definitivamente enunciati nel 1898 in Aritmetica, la II parte del II vol.
del Formulaire de mathematiques: Peano, 1908, p. 27; Kennedy, 1983):

Assioma zero. I numeri formano una classe (2).
Assioma I. Lo zero è un numero.
Assioma II. Se a è un numero, il suo successivo a+ è un numero.
Assioma III. Se s è una classe contenente lo zero e, per ogni a, se a appartiene
a s, il successivo a+ appartiene a s,; allora ogni numero naturale è in s
("principio di induzione": si tratta in effetti di uno schema di assiomi: Chang &
Keisler, 1973) (3).
Assioma IV. Se a e b sono due numeri e se i loro successivi a+, b+ sono uguali,
allora a e b sono uguali.
Assioma V. Se a è un numero, il suo successivo a+ non è zero.
L'addizione secondo Peano si basa sulle due condizioni seguenti, date nella
simbologia originale (Peano, 1908, p. 29):
Addizione I. Se a è un numero, a+0 = a.
Addizione II. Se a e b sono due numeri, a+(b+) = (a+b)+.
È evidente la stretta analogia che lega l'introduzione di Goodstein
(presentata nel paragrafo precedente) a questa. Per induzione, quindi, Peano
dimostra che se a, b sono numeri, anche a+b è un numero (si veda: Peano,
1908; alcune dimostrazioni sono riportate in: Carruccio, 1972).
La relazione introdotta da Peano è un'applicazione: a→a+ avente per dominio
l'insieme dei numeri naturali e per codominio l'insieme dei numeri naturali
non nulli, e che è una biiezione. Si può inoltre dimostrare che Peano introduce
nell'insieme dei numeri naturali un ordine stretto.

Possiamo dunque concludere che dall'impostazione peaniana, basata sull'applicazione
che ad ogni numero naturale associa il suo successivo, emerge il
ruolo essenziale del concetto di successione.