Numeri e successioni: riflessioni metamatematiche, storiche e didattiche su di un brano leopardiano (4)

4. Dall'aspetto storico a quello didattico
Un'esplicita attenzione alla concezione operativa, dunque, è alla base di alcuni
importanti tentativi di formalizzazione dell'aritmetica. Un tale atteggiamento è
costante nella storia della matematica, come rilevano F. Arzarello, L. Bazzini e
G. Chiappini:
«Lo sviluppo del concetto di numero si può vedere come lo svolgimento di
una catena di passaggi dalle concezioni operative a quelle strutturali. D'altra
parte, anche prima che i processi generatori di nuovi numeri fossero considerati
come oggetti, i matematici li usavano e li combinavano in operazioni» (Arzarello,
Bazzini & Chiappini, 1994, p. 9).

Concludiamo osservando che l'annotazione storica secondo la quale molto
spesso l'aspetto operativo precede quello strutturale, assume una netta rilevanza
in numerose questioni di didattica della matematica (8).
A. Sfard, in una nota ricerca (1991), dopo avere sottolineato la sostanziale
astrazione che caratterizza la matematica (9), sottolinea la possibilità di
concepire (e di presentare) parallelamente i contenuti matematici in termini
strutturali (interpretandoli, dunque, come "oggetti") ed in termini operativi
(interpretandoli, dunque, come "processi"):
«Saper vedere un'entità matematica come un oggetto significa essere capaci
di riferirsi ad essa come ad una cosa reale, una struttura statica... e di manipolarla
come un tutto... Interpretare una nozione come processo significa considerarla
come entità potenziale piuttosto che attuale, che viene alla luce a fronte di
una sequanza di azioni. Quindi, mentre la concezione strutturale è statica..., itananea
e complessiva, quella operativa è dinamica, sequenziale e particolareggiata
» (Sfard, 1991, p. 4).
La Sfard, inoltre, estende tale distinzione alle codifiche (e l'Autrice sembra
qui riprendere idealmente le annotazioni di Leopardi precedentemente citate):
«Le codifiche verbali non possono essere colte 'a colpo d'occhio' e debbono
essere elaborate sequenzialmente, dunque sembrano più adatte per presentare
procedure di calcolo. In tal modo, la rappresentazione interna non iconica è più
pertinente al modo di pensare operativo» (Sfard, 1991, p. 7, con riferimento a:
Hadamard, 1949, p. 77).
Pur senza pretendere di esaurire un argomento assai profondo e delicato, anche
dal punto di vista epistemologico, possiamo dunque concludere che l'introduzione
operativa di molti concetti fondamentali della matematica (e, tra
questi, degli elementi dell'aritmetica) è una questione particolarmente
importante e dibattuta anche in ambito didattico.

Numeri e successioni: riflessioni metamatematiche, storiche e didattiche su di un brano leopardiano (2)

2. Uno sguardo alla storia:
l'impostazione assiomatica di Peano
Dal punto di vista storico, osserva N. Bourbaki:
«Prima del XIX secolo, pare non vi sia stato alcun tentativo di definire l'addizione
e la moltiplicazione dei numeri naturali se non richiamandosi
direttamente all'intuizione; Leibniz è il solo che, fedele ai propri principi, fa
espressamente notare che delle "verità evidenti" come 2+2 = 4 sono anch'esse
suscettibili di dimostrazione se si riflette sulle definizioni dei numeri che vi
figurano; egli non riteneva affatto come scontata la commutatività
dell'addizione e della moltiplicazione. Ma non spinge oltre le sue riflessioni a
questo proposito, e, verso la metà del XIX secolo, nessun progresso si era
ancora compiuto» (Bourbaki, 1963).
Con il lavoro Sul concetto di numero (1891), Giuseppe Peano (1858-1932),
rielaborando alcune idee introdotte da Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916)
nello scritto Was sind und was sollen die Zahlen? (1888), propose un'introduzione
assiomatica dell'aritmetica basata su tre concetti primitivi (l'unità, che in
una seconda stesura fu sostituita con lo zero; il numero; il successivo) e su sei
assiomi (definitivamente enunciati nel 1898 in Aritmetica, la II parte del II vol.
del Formulaire de mathematiques: Peano, 1908, p. 27; Kennedy, 1983):

Assioma zero. I numeri formano una classe (2).
Assioma I. Lo zero è un numero.
Assioma II. Se a è un numero, il suo successivo a+ è un numero.
Assioma III. Se s è una classe contenente lo zero e, per ogni a, se a appartiene
a s, il successivo a+ appartiene a s,; allora ogni numero naturale è in s
("principio di induzione": si tratta in effetti di uno schema di assiomi: Chang &
Keisler, 1973) (3).
Assioma IV. Se a e b sono due numeri e se i loro successivi a+, b+ sono uguali,
allora a e b sono uguali.
Assioma V. Se a è un numero, il suo successivo a+ non è zero.
L'addizione secondo Peano si basa sulle due condizioni seguenti, date nella
simbologia originale (Peano, 1908, p. 29):
Addizione I. Se a è un numero, a+0 = a.
Addizione II. Se a e b sono due numeri, a+(b+) = (a+b)+.
È evidente la stretta analogia che lega l'introduzione di Goodstein
(presentata nel paragrafo precedente) a questa. Per induzione, quindi, Peano
dimostra che se a, b sono numeri, anche a+b è un numero (si veda: Peano,
1908; alcune dimostrazioni sono riportate in: Carruccio, 1972).
La relazione introdotta da Peano è un'applicazione: a→a+ avente per dominio
l'insieme dei numeri naturali e per codominio l'insieme dei numeri naturali
non nulli, e che è una biiezione. Si può inoltre dimostrare che Peano introduce
nell'insieme dei numeri naturali un ordine stretto.

Possiamo dunque concludere che dall'impostazione peaniana, basata sull'applicazione
che ad ogni numero naturale associa il suo successivo, emerge il
ruolo essenziale del concetto di successione.

Numeri e successioni: riflessioni metamatematiche, storiche e didattiche su di un brano leopardiano (1)

di GIORGIO TOMASO BAGNI


1. Zibaldone di pensieri, 28 novembre 1820
Scriveva il ventiduenne Giacomo Leopardi:
«L'uomo senza la cognizione di una favella, non può concepire l'idea di un
numero determinato. Immaginatevi di contare trenta o quaranta pietre,
senz'avere una denominazione da dare a ciascheduna, vale a dire, una, due, tre,
fino all'ultima denominazione, cioè trenta o quaranta, la quale contiene la
somma di tutte le pietre, e desta un'idea che può essere abbracciata tutta in uno
stesso tempo dall'intelletto e dalla memoria, essendo complessiva ma definita
ed intera. Voi nel detto caso, non mi saprete dire, né concepirete in nessun
modo fra voi stesso la quantità precisa delle dette pietre; perché quando siete
arrivato all'ultima, per sapere e concepire detta quantità, bisogna che l'intelletto
concepisca, e la memoria abbia presenti in uno stesso momento tutti
gl'individui di essa quantità, la qual cosa è impossibile all'uomo. Neanche
giova l'aiuto dell'occhio, perché volendo sapere il numero di alcuni oggetti
presenti, e non sapendo contarli, è necessaria la stessa operazione simultanea e
individuale della memoria. E così se tu non sapessi fuorché una sola
denominazione numerica, e contando non potessi dir altro che uno, uno, uno;
per quanta attenzione vi ponessi, affine di raccogliere progressivamente
coll'animo e la memoria, la somma precisa di queste unità, fino all'ultimo; tu
saresti sempre nello stesso caso. Così se non sapessi altro che due
denominazioni ecc. Eccetto una piccolissima quantità, come cinque o sei, che
la memoria e l'intelletto può concepire senza favella, perché arriva ad aver
presenti simultaneamente tutti i pochi individui di essa quantità... In genere
l'idea precisa del numero, o coll'aiuto della favella o senza, non è mai
istantanea, ma composta di successione, più o meno lunga, più o meno
difficile, secondo la misura della quantità» (da Zibaldone di pensieri, 28
novembre 1820: Leopardi, 1969).
Questo brano suggerisce alcune riflessioni sul concetto di numero naturale.

Innanzitutto, appare evidente la centrale importanza che l'Autore attribuisce
al linguaggio (1). Già dall'esordio («L'uomo senza la cognizione di una favella,
non può concepire l'idea di un numero determinato»), infatti, Leopardi si riferisce
esplicitamente al ruolo essenziale della denominazione dei singoli numeri
naturali: è grazie alla «denominazione» che possiamo numerare gli elementi di
un insieme finito (ovvero che possiamo identificare, progressivamente, i suoi
sottoinsiemi di cardinalità crescente) fino a giungere all'indicazione della
totalità (a fissare «un'idea che può essere abbracciata tutta in uno stesso tempo
dall'intelletto e dalla memoria, essendo complessiva ma definita ed intera»).
Questa concezione numerica è dunque strettamente legata al conteggio, all'atto
di enumerare: il ruolo della «favella» viene ad essere decisivo proprio in
quanto consente lo svolgersi della corretta esecuzione pratica di tale atto («E
così se tu non sapessi fuorché una sola denominazione numerica, e contando
non potessi dir altro che uno, uno, uno...»). Leopardi, verso la fine del brano citato,
riconosce chiaramente che il concetto stesso di numero, mediante (ed oltre)
la successione delle «denominazioni», si lega inscindibilmente al
conteggio («L'idea precisa del numero, o coll'aiuto della favella o senza, non è
mai istantanea, ma composta di successione») (Borgato & Pepe, 1998).
Questa considerazione può essere modernamente ripresa ed approfondita
con l'esame di alcune impostazioni dell'aritmetica, che come vedremo basano
le proprie radici sull'introduzione ricorsiva.