Numeri e successioni: riflessioni metamatematiche, storiche e didattiche su di un brano leopardiano (4)

4. Dall'aspetto storico a quello didattico
Un'esplicita attenzione alla concezione operativa, dunque, è alla base di alcuni
importanti tentativi di formalizzazione dell'aritmetica. Un tale atteggiamento è
costante nella storia della matematica, come rilevano F. Arzarello, L. Bazzini e
G. Chiappini:
«Lo sviluppo del concetto di numero si può vedere come lo svolgimento di
una catena di passaggi dalle concezioni operative a quelle strutturali. D'altra
parte, anche prima che i processi generatori di nuovi numeri fossero considerati
come oggetti, i matematici li usavano e li combinavano in operazioni» (Arzarello,
Bazzini & Chiappini, 1994, p. 9).

Concludiamo osservando che l'annotazione storica secondo la quale molto
spesso l'aspetto operativo precede quello strutturale, assume una netta rilevanza
in numerose questioni di didattica della matematica (8).
A. Sfard, in una nota ricerca (1991), dopo avere sottolineato la sostanziale
astrazione che caratterizza la matematica (9), sottolinea la possibilità di
concepire (e di presentare) parallelamente i contenuti matematici in termini
strutturali (interpretandoli, dunque, come "oggetti") ed in termini operativi
(interpretandoli, dunque, come "processi"):
«Saper vedere un'entità matematica come un oggetto significa essere capaci
di riferirsi ad essa come ad una cosa reale, una struttura statica... e di manipolarla
come un tutto... Interpretare una nozione come processo significa considerarla
come entità potenziale piuttosto che attuale, che viene alla luce a fronte di
una sequanza di azioni. Quindi, mentre la concezione strutturale è statica..., itananea
e complessiva, quella operativa è dinamica, sequenziale e particolareggiata
» (Sfard, 1991, p. 4).
La Sfard, inoltre, estende tale distinzione alle codifiche (e l'Autrice sembra
qui riprendere idealmente le annotazioni di Leopardi precedentemente citate):
«Le codifiche verbali non possono essere colte 'a colpo d'occhio' e debbono
essere elaborate sequenzialmente, dunque sembrano più adatte per presentare
procedure di calcolo. In tal modo, la rappresentazione interna non iconica è più
pertinente al modo di pensare operativo» (Sfard, 1991, p. 7, con riferimento a:
Hadamard, 1949, p. 77).
Pur senza pretendere di esaurire un argomento assai profondo e delicato, anche
dal punto di vista epistemologico, possiamo dunque concludere che l'introduzione
operativa di molti concetti fondamentali della matematica (e, tra
questi, degli elementi dell'aritmetica) è una questione particolarmente
importante e dibattuta anche in ambito didattico.