Contributo della Compagnia di Gesù alla ricerca e didattica delle scienze

Esiste un contributo in questo settore del sapere dato dalla Compagnia di Gesù (cioè dai Gesuiti) (SJ di seguito)? Come viene comunemente considerato?
Ma che senso ha, per un appartenente a questo specifico ordine religioso lo studio (e, quindi, anche quello delle scienze)? Esistono dei contributi veramente significativi e da parte di chi?
Perché parlare di didattica? E, in maniera più specifica, di didattica delle scienze, sempre riferendosi alla SJ?

Cercherò di rispondere a queste domande, rispettandone l'ordine.


Valutazioni sui contributi della Compagnia di Gesù alla ricerca e didattica delle scienze
Maltese (1989) sostiene che “la SJ fu il principale protettore dello studio delle scienze fisiche e matematiche nel  XVII secolo, per  la  qualità  del  suo sistema educativo,  dei  suoi insegnanti  e ricercatori. Questo non deve tuttavia indurre ad una sovrastima”. Aggiunge che “il ruolo dell'Ordine fu al più di conciliare il vecchio al nuovo”. Inoltre “l'apporto scientifico gesuita fu elemento fondamentale ed universalmente accessibile di unione tra vecchio e nuovo”. Infine “la crescita del caratteri nazionali della scienza, sotto forma delle Accademie scientifiche nazionali, relegò l'opera dei Gesuiti in una posizione sempre meno importante”.
Nell'introduzione  al  volume  dedicato  a  Giambattista  Riccioli,  Maria  Teresa  Borgato  (2002)
definisce il vocabolo “merito” non in senso valutativo, ma puramente nel senso di argomento trattato. Anzi. All'interno del medesimo volume, nel contributo di Baldini (2002), viene espresso un duro giudizio sulle parole scritte da Giambattista Riccioli SJ sul confratello, Francesco Maria Grimaldi SJ, in occasione della sua morte che furono di prevalente natura morale e non di elogio per i meriti scientifici.
Naturalmente  non  si  possono  tacere  le  posizioni  contro  le  tesi  di  Copernico,  sostenute,  fondamentalmente, a causa di una tendenza che vedeva, all'epoca, l'intendere il contenuto della Bibbia  interpretabile  in  toto alla  lettera  (tendenza,  che,  a  quell'epoca,  era  prevalente)  come sottolineato da Kelter (1995). Ma, nel medesimo scritto sottolinea come venissero accettate, da studiosi della SJ, le ipotesi copernicane.

A prima vista la causa di questi giudizi – in particolar modo il primo – potrebbero risiedere nel fatto che, all'inizio del XVII secolo, come ricorda lo stesso Maltese (1989), si intendesse per “fisica” una scienza  dei  corpi  naturali  qualitativa  ed  astratta,  una  scienza  delle  cause  e  non  degli  effetti (comprendeva, da un lato i anche i fenomeni psicologici e organici, mentre escludeva la matematica e gli esperimenti). Rientravano invece nella Matematica applicata i saperi come l'ottica, astronomia, idraulica ed altri simili. Cosicché la “matematica applicata” non veniva insegnata nell'università, mentre era insegnata (in lingua volgare) nei collegi  ella SJ. In tal caso avrebbe senso dire che il contributo alla fisica (usando, quindi, la definizione di allora) non   da sovrastimare. Però, citando i contributi in astronomia, ottica e così via non mi posso trovare d'accordo. Non sono nemmeno d'accordo con il giudizio di Baldini, che lascia intendere – nemmeno troppo – che la SJ  non considera troppo l'opera di Grimaldi – presa, invece, in grande considerazione da altri studiosi. Bisogna tener conto, infatti, che l'espressione delle parole di elogio, di carattere morale, espresse dal Riccioli, sono scritte non da un uomo qualsiasi, ma da un religioso. Sembra, dunque, che talvolta non si consideri il contesto in cui i pregi e le lacune sono nati e cresciuti. Se non quando si debba esprimere una critica (anche corretta). E questo è il caso di Kelter (1995).

Piuttosto risulta interessante questo cercare di attribuire ad un intero ordine religioso dei difetti, mentre non si considerano le opere dei singoli in quanto contributi. Dall'altra parte emerge il fatto che si stia parlando di “scienza gesuitica”. È possibile tutto ciò? Il paradosso risulta nel fatto che dei religiosi, il cui compito risieda nel salvare le anime, siano stati in grado di produrre un corpus di 5000 opere, con argomenti, che toccano praticamente ogni branca delle scienze matematiche e fisiche. Il paradosso è conciliabile, secondo Harris (1995), nel ritenere il contributo come forma di ricerca ad una sottostante coerenza al fine di costruire un nuovo modo di professare la fede tra tutti e anche fra le persone istruite. Si tratta, dunque, di un modo per cercare il dialogo tra la SJ e la società. Risulta, dunque, inadeguato il cercare di conciliare il lavoro scientifico come espressione organica e coerente dell'attività religiosa. Piuttosto è interessante l'orientamento più recente di “confessionalizzazione”, che consiste, in questo caso, nel “cristianizzare le masse e spiritualizzare


la vita di ogni giorno”. Ecco che, attraverso le opere di educazione, viene mal interpretato il ruolo di “portatori di cultura, che la SJ ha assunto al fine di diffondere la cristianizzazione.
Riassumendo. Esiste un innegabile contributo della SJ alle scienze (analizzeremo, in seguito, il contributo di alcuni studiosi membri della Compagnia) e spesso viene mal interpretato partendo dal presupposto della dicotomia tra scienza e fede, senza considerare le ragioni che hanno spinto quest'Ordine ad avere al suo interno dei componenti, che tanto si sono dedicati a discipline di carattere scientifico.

Lo studio e il suo significato spirituale
Nello suo scritto, Mucci (2011) si domanda quale sia il senso dello studio come attività spirituale, in particolar modo riferendoci agli scritti di S. Ignazio di Loyola. In una lettera a S. Francesco Borgia SJ (Roma, luglio 1549), S. Ignazio scrive che “quelli che studiano per il servizio di Dio e il bene generale della Chiesa” hanno il dovere di “mantenere le loro facoltà intellettuali disposte allo sforzo dello studio e conservare la sanità”. Costoro non devono essere gravati di lunghe preghiere, perché “Dio non si serve dell'uomo solo quando prega, ma ci sono dei momenti in cui Dio è servito con altre azioni più che con la preghiera”. Scrive (lettera a Bartolomeo Hernàndez, Roma, 21 luglio 1554) che “quando lo studio è puramente ordinato al servizio divino, è in sé ottima devozione”.
Riteneva, infine, che fosse necessaria una compensazione equilibratrice tra le due forme spirituali e parlava di escuela del entendimiento ed escuela del afecto. La prima è la scuola della formazione e degli studi, mentre la seconda è incentrata sull'interiorità dell'io umano.
Riassumendo.  Non  c'è  dissidio  tra  vita  interiore  e  vita  di  studio,  a  patto  che  la  seconda  sia “ordinata”, cioè orientata (ovvero: serva allo scopo) al servizio divino.



Esistono dei contributi veramente significativi?
Tracceremo, in questo capitoletto, il profilo di alcuni studiosi, che durante la loro vita all'interno della  SJ,  si  dedicarono  con  particolare  merito  alle  scienze,  con  particolare  riguardo  a  quelle matematiche e fisiche.
Cristopher Clavius (1538-1612). meglio noto in Italia come Cristoforo Clavio (Bamberga, 25 marzo 1538 – Roma, 12 febbraio 1612), è stato matematico e astronomo, noto per il suo contributo alla definizione del calendario gregoriano. sarebbe la latinizzazione di Christoph Clau (o Christoph Klau). Secondo altri, potrebbe essere una semplice traduzione di Christoph Schlüssel. Nel 1555 entra nell'ordine dei Gesuiti e l'anno successivo viene inviato all'Università di Coimbra, dove i gesuiti avevano fondato un loro collegio. Nei corsi universitari eccelle nelle discipline matematiche, e  nel  1560  esegue  osservazioni  astronomiche  su   una  eclissi  solare  totale  che  lo  inducono  a indirizzarsi agli studi astronomici. Clavius diventa il più  utorevole matematico dei gesuiti, e in quanto tale scrive un gran numero di testi che hanno una elevata influenza. Sono di Clavius una versione degli Elementi di Euclide (1574), una delle più autorevoli del suo   mpo, un commento alla Sfera di Sacrobosco (1581), libri di aritmetica pratica, di geometria, di algebra e sull'astrolabio.

Nel  1579 viene nominato Primo  Matematico  nella Commissione  pontificia per la riforma  del calendario giuliano. La definizione del nuovo calendario ottiene grande successo, e viene adottata nei paesi cattolici nel 1582 per ordine del Papa Gregorio XIII. Come riconoscimento di questa sua attività  viene  soprannominato  Euclide  del  XVI  secolo.  Come  astronomo  segue  il  modello geocentrico del sistema solare, il modello ortodosso suffragato dall'opera di Claudio Tolomeo, riconoscendo però i problemi del modello tolemaico. All'inizio del XVII secolo è uno dei più autorevoli astronomi, e Galileo gli fa visita nel 1611 per discutere con lui le osservazioni da lui eseguite  con  il  telescopio.  Nell'ultima edizione  (1611) di  In  Spheram  Joannis  de Sacrobosco commentarius, che presenta una visione dell'astronomia dell'epoca, riporta le nuove scoperte di Galileo con il telescopio (anni 1609-1610) nonché le osservazioni del 1570, 1600 e 1604. Riporta
inoltre della cometa del 1577. Mostrando, così, che i cieli non erano incorruttibili a differenza di quanto  sostiene  la  dottrina  aristotelica  (e  anche  le  fasi  di  Venere  e  i  satelliti  di  Giove,  che mostravano che non tutto gira intorno alla Terra), afferma che è necessaria una riforma delle orbite celesti. Clavius accetta le nuove scoperte, anche se nutre dubbi sulla presenza di montagne sulla Luna (ironia della sorte, a Clavius è dedicato uno dei maggiori crateri lunari). Infine insiste sulla necessità della matematica per trattare i temi di fisica, dato che “per la loro ignoranza in matematica alcuni professori hanno commesso molti gravissimi errori” e dato che “senza la matematica la filosofia naturale resta monca”.

Giovanni Battista Riccioli (1598-1671). Nacque a Ferrara il 17 aprile 1598 e morì a Bologna il 25 giugno 1671. Ha calcolato latitudine e longitudine di molte località; ha disegnato una mappa lunare (insieme a Grimaldi), pubblicata nell'Almagestum Novum (1651), introducendo una nomenclatura in parte ancor' oggi utilizzata. Ha compilato un catalogo stellare, osservato una stella doppia, notato le bande colorate  parallele passanti per l'equatore di Giove. Ha sviluppato, infine, un metodo per calcolare il diametro del Sole (insieme a Grimaldi).

Daniello Bartoli (1608-1685). Nacque a Ferrara il 12 febbraio 1608 e morì a Roma il 13 gennaio 1685. Famoso per la sua Istoria della Compagnia di Gesù, scrisse anche dei trattati scientifici, tra i quali  i  quattro  libri  Del  suono  de'  tremori  armonici  e  dell'udito (1679),  in  cui  descrive  la propagazione  del  suono,  comparandola  con  “i  circoli  che  si  forman'  nell'acqua”  (stagnante). Sottolinea, nel medesimo luogo, che la filosofia naturale “douersi tenere colle sperienze”.

Francesco Maria Grimaldi (1618-1663). Nacque a Parma il 2 aprile 1618 e morì a Bologna il 28 dicembre 1663. Stretto collaboratore di Giovanni Battista Riccioli, è famoso per aver scoperto e definito la diffrazione della luce: “lumen propagatur seu diffunditur non solum Directe, Refracte, aut Reflexe, sed etiam alio quodam quarto modo, DIFFRACTE”. All'interno del suo famoso testo, il De Lumine (1663), suddiviso in due volumi, tratta, sperimentalmente sia della natura della luce in quanto corpuscolo sia della luce parlando di “fluido” che si propaga  undulatim.  Nel medesimo trattato emerge l'orientamento dell'Autore nel non ritenere un approccio modellistico – validato dagli esperimenti – predominante rispetto all'altro. Fu citato da Newton nella sua “Ottica” per la scoperta della diffrazione.

Giuseppe Ruggero Bošković (1711-1787). Nacque in Croazia (Ragusa) il 18 maggio 1711 e morì a Milano il 13 febbraio 1787. Uno dei primi studiosi ad accettare le teorie di Newton. Boscovich fu il primo a fornire una procedura per il calcolo dell'orbita di un pianeta sulla base di tre osservazioni della sua posizione e diede anche una procedura per determinare l'equatore di un pianeta. Inoltre, formulò quella che oggi è chiamata ipotesi di Boscovich ed è alla base della definizione fisica di corpo rigido. Pubblicò un libro sulle macchie solari (1736). Non mi dilungherò su di lui, essendo già stata trattato più volte e approfonditamente in questa sede il suo profilo e i risultati dei suoi studi.


Pierre Teilhard de Chardin (1881-1955). Nacque a Orcines (Francia) il 1 maggio 1881 e morì a New York il 10 aprile 1955. Noto come paleontologo e come teologo. Meno noto per alcune  considerazioni  interessanti applicabili alla  fisica dei sistemi complessi, con particolar riguardo all'ecofisica, disciplina neonata, che tratta l'utilizzo della fisica nella descrizione degli ecosistemi. Sviluppa il pensiero di Vladimir Vernadskij (V. fu colui che coniò il termine biosfera e noosfera). In un suo testo del 1952, pubblicato per la prima volta nella Revue des questions scientifiques il 20 ottobre di quell'anno, propone uno schema dell'evoluzione umana rappresentabile come misura della complessità del sistema in funzione dell'entropia.
Tali temi sono attualissimi (cioè vengono proposti come nuovi nella letteratura scientifica degli ultimi decenni).


Georges Edouard Lemaître (1894-1966). Nacque a Charleroi (Belgio) il 17 luglio 1894 e morì a Lovanio il 20 giugno 1966. Fu il primo a capire che lo spostamento verso il rosso (Hubble, 1931) della luce delle stelle era la prova dell'espansione dell'universo e a proporre la legge di Hubble, secondo la quale vi è una proporzionalità fra distanza delle galassie e loro velocità di recessione.
Nel 1927, infatti, pubblicò l'ipotesi dell'atomo primigenio, oggi nota come teoria del Big Bang, basata  sulla  relatività  generale,  per  spiegare  entrambi  i  fenomeni.  Riporta  le  due  seguenti affermazioni nelle conclusioni del lavoro appena citato: (1) la massa dell'universo è costante ed è legata alla costante cosmologica dalla relazione di Einstein; (2) il raggio dell'universo cresce senza interruzione fino ad un valore asintotico R0 per  t ->∞ .

Riassumendo. Emergono dei contributi interessantissimi di membri della SJ e di carattere non secondario. L'opinione secondo la quale il contributo della SJ (intesa come contributo dei suoi componenti) alle scienze, con particolare riguardo a quelle fisiche, sia di sola unione tra vecchio e nuovo e non già di originalità è, dunque, inesatta e riduttiva. Certamente è pretenzioso ritenere, invece, che un ordine religioso  in toto finalizzi la propria opera nel dare contributi alla scienza, perciò, in tal caso, i giudizi espressi partono da un punto di vista, evidentemente, assurdo.



Il ruolo della didattica
Veniamo  all'ultimo  punto.  Per  essere  buoni  scienziati,  non  sarebbe  necessario  sottolinearlo,  è indispensabile, prima, studiare. Perché insegnare la scienza? Qual'è l'approccio allo studio che la SJ
propone e che ha permesso di annoverare tra i “suoi” anche degli scienziati? Una risposta alla prima domanda viene dallo scritto di Tuker (2001). La scienza è un mezzo di promozione della giustizia sociale, poiché genera informazioni, che possono essere utilizzate per rimediare  alle ingiustizie, dato che la  più elementare forma  di legame  dell'uomo  dalla  natura dipende dall'assoluta dipendenza fisica (aria respirabile; acqua bevibile; ecc.). Questa è l'importanza attuale delle scienze fisiche (con particolare riguardo a quelle ambientali). Per il passato – ma ancora  oggi – è interessante anche  la proposta di  Harris  (1995) di “cristianizzare le masse e spiritualizzare la vita di ogni giorno”. Direi che un connubio tra le due risposte possa, in prima approssimazione, dare risposta a questa domanda.
La seconda domanda richiederebbe una lunga trattazione, che in questa sede non è possibile. Cercherò di dare, quindi, una risposta sintetica. «Premesso che lo scopo, che la Compagnia direttamente persegue, è di aiutare l'anima dei suoi soggetti e quella del prossimo nel conseguimento del fine ultimo, per cui sono state create; e che per questo, oltre l'esempio della vita è necessaria la dottrina e la maniera di presentarla; dopo che in essi si sarà riscontrato il debito fondamento del profitto nelle virtù, si dovrà innalzare l'edificio
delle lettere e acquisire la maniera di servirsene per aiutare a conoscere e a servire meglio Dio.... Ecco  perché la Compagnia accetta i Collegi e le università...» (Cost. n. 307)

Riporto passi dello scritto di Mario Guarino SJ (1974). Il P. Pietro Ribadeneira, rifacendo spesso a ritroso il cammino fatto dalla Compagnia di alcuni decenni, non poteva dimenticare le parole dettegli da s. Ignazio una sera di fine settembre del 1549 alla vigilia della sua partenza per Palermo, dov'era destinato a insegnare retorica nel Collegio d'imminente apertura: «Se viviamo altri dieci anni, Pietro, vedremo grandi cose nella Compagnia. Se viviamo? Se vivrete voi, le vedrete; perché io non credo di dover vivere tanto». Queste parole dovevano rivelarsi profetiche, specialmente se rapportate al primo ‘600, ad appena 70 anni dalla nascita dell'Ordine. A quella data, secondo i dati fornitici dallo stesso P. Ribadeneira in appendice al suo volume «Illustrium Scriptorum Societatis Jesu» esso conta già più di 10 mila membri e gestisce circa 300 Collegi, di cui una quarantina circa fuori Europa. Tale contesto spiega gli orientamenti di principio e le scelte pratiche proposte e imposte dal Loyola alla propria istituzione. Egli intese appieno l'urgenza e la portata del mezzo principe della ricostruzione etico-religiosa della società del tempo: l'educazione, cui infatti riservò un'intera sezione della sua opera legislativa (la Parte IV delle Costituzioni), e, negli ultimi anni, una vasta aliquota del suo carteggio. La funzione, per così dire liberante, da lui attribuita all'intervento educativo, trovò consensi persino formali in tutto l'Ordine: si pensi all'asserzione enfatica. uscita dalla penna del gesuita spagnolo Juan Bonifacio in un suo celebre, ma ormai introvabile, opuscolo sull'argomento: «Puerilis institutio est renovatio mundi». Continua ancora. Centro di attuazione fu, nei primi tempi, l'università pubblica, alla cui ombra stabilirono i loro domicili i giovani gesuiti, ancora in via nel compimento dei loro studi. Queste case di coabitazione, ma prive di docenti, costituirono i Collegi nella prima accezione del termine. L'istituzione suggerita dal gesuita P. Lainez e approvata da Paolo III (1540) non costituiva allora una novità. Solo che i Collegi voluti da s. Ignazio rimasero esenti dalle ingerenze delle autorità accademiche, ad esclusivo uso degli studenti gesuiti, privi d'insegnamento. Ci fu quindi una reale, laboriosissima gestazione dell'apostolato educativo in quell'Ordine nuovo che fu la Compagnia di Gesù. Alla futura originalità di fisionomia e di struttura non poteva non correlarsi una specie di iniziale brancolamento nella ricerca dei mezzi realizzativi. Si procedette dunque, per assaggi, che però, inizialmente, non coinvolsero il settore educativo. Il perseguimento di ideali pedagogicoumanistici non fu effetto di programmazione, ma di particolari congiunture che fecero inserire in questa anche l'attività dell'insegnamento e della formazione in generale. Vi si giunse per una via lunga e lenta e partendo da zero: «niente studi né lezioni nella Compagnia»: è la prima decisione del nucleo di avvio. Né studi generali né particolari, ma solo le indispensabili ripetizioni, le dispute, gli altri esercizi scolastici.

«Nostro compito è di risollevare la scienza, restaurare la teologia, la religione e ancor più prepararvi gli  alunni»  scriverà  s. Ignazio  al  duca  di  Baviera.  Questa  preparazione  consiste  nella  cultura dell'intelligenza mediante le scienze inferiori: le lettere umane, la filosofia e le scienze. Tutto il
piano ignaziano di studi è condensato in queste linee; lo scopo finale: la teologia, attraverso la quale i docenti devono accendere come «dei piccoli fuochi» nell'animo dei discepoli affinché essi tendano con tutto lo sforzo verso di essa come a traguardo dei loro studi di filosofia e di scienze.
Particolarmente caratterizzanti sono i seguenti che si ricavano dalla Parte IV delle Costituzioni:
I) Una presa di posizione chiara e netta sul problema della formazione intellettuale, perché s'insiste da una parte sulle lettere classiche come il fine perseguito di un umanesimo integrale lo richiede, e d'altra parte si attribuisce alla teologia il primato per raggiungere la formazione di un umanesimo cristiano (c. 12).

II) La conservazione del principio di unità nel programma scolastico e nella direzione della scuola (c. 17).
III) Alta considerazione per il corpo insegnante e la personalità del docente giudicata più importante dello stesso programma di studi e delle prescrizioni pedagogiche (c. 13).
IV) Introduzione della gratuità dell'insegnamento impartito dalla Compagnia (cc. 2 - 3 - 7)
V)  Armoniosa  unità  dell'istruzione  e  dell'educazione,  sottolineando costantemente  il  principio: imparare per saper vivere (Introduzione alla P. IV e c. 11).
Il secondo che si concretizzerà nella norma sancita nelle Costituzioni che «la direzione intellettuale e morale di tutta l'università» sia nelle mani di un «rettore» della Compagnia, che ne «avrà la responsabilità o  sovraintendenza e il governo» (n. 490) scaturì, come abbiamo visto, sopra, dalla deficiente preparazione di docenti adatti nelle università pubbliche. Di qui la norma che «il rettore, dopo un conveniente esame, vedrà e deciderà quanto tempo debba darsi ad una materia, e quando si debba passare ad un'altra» (Cost. n. 357) e quindi la decisione di organizzare Collegi con scuole e direzione  proprie,  con  docenti  gesuiti  possibilmente  (Cost.  n.  457)  che,  come  prima  cosa,  si facessero capire dagli studenti e li spingessero, ma progressivamente, alla conquista del sapere.

Come secondo passo essi dovranno stimolare l'impegno individuale mediante l'emulazione, facendo collaborare attivamente l'intera classe, anche se numerosa (Cost. n. 456). A proposito dell'alta  considerazione di cui all'inizio godevano i docenti dei nostri Collegi, il P. Ribadeneira scrive: «Se in poco tempo i nostri  alunni fanno rilevante progresso nelle lettere, ciò deriva  dal metodo che adottiamo». Ordine e metodo d'insegnamento da parte dei docenti furono giudicati tanto essenziali fin dall'inizio che, per distinguere il loro codice pedagogico, i gesuiti non trovarono altro termine più adatto di «Ratio atque institutio studiorum». La gratuità dello insegnamento era indirettamente legata all'autosufficienza economica di un Collegio, che perciò si voleva «fondato» come si diceva



allora mediante un reddito fisso, abitualmente agganciato alla proprietà fondiaria di benefattori.
La Ratio Studiorum nasce come regolamentazione, in realtà, del Collegio Romano, nel 1551 e da lì si sviluppa nelle sue successive forme, seguita, nelle sue successive elaborazioni ad una forma più completa, data da S. Francesco Borgia SJ nel 1569, che regolamenta gli studi inferiori (tra cui quelli di fisica evidentemente).
Il contributo ai testi delle prime versioni della Ratio (1586 e 1591) dato da Clavius emerge nelle frasi di elogio della matematica, senza la quale “la nostra accademia sarebbe priva di un grande ornamento”. Si propone così un programma di tre anni per un gruppo ridotto di giovani di talento. A loro si devono spiegare gli Elementi di Euclide, la geografia e l'astronomia e si propone l'istituzione di una accademia di matematica, per coloro che avessero mostrato maggiore interesse, dopo aver terminato  gli  studi  di  filosofia.  Ricordiamo  che  all'interno  della  matematica,  all'epoca,  erano compresi studi di ottica, astronomia, idraulica e così via, noti col nome di matematica applicata. In senso più specifico, tenendo conto di una struttura costituita da  prelectio – lectio – repetitio, la prelectio (ovverosia la definizione dei risultati da raggiungere nell'apprendimento, il metodo di lavoro per gli alunni, i problemi da affrontare, le definizioni utili per affrontare il tema da svolgere, i difetti dei precedenti lavori e così via) sappiamo che, nel caso della matematica, debba avere una ampiezza (non annuale, ma per ogni giorno di lezione nel secondo anno) di tre ore circa (edizione della Ratio del 1600). Come abbiamo, poi, già sottolineato, è prevista la possibilità di approfondire questi studi per coloro che mostrino particolari doti.

Riassumendo. La fisica e la matematica applicata rivestono, all'interno di un organico e strutturato
progetto educativo “volto a risollevare la scienza e restaurare la teologia e la religione” (le parole
virgolettate sono di S. Ignazio), un ruolo importante e di base, tanto da far parte degli studi inferiori (quindi, di base). È ritenuta indispensabile ed insegnata in lingua volgare agli alunni per un anno intero. La riflessione sulla Ratio continua ancor oggi parlando di Paradigma Pedagogico Didattico, utile termine di confronto per tutti gli insegnanti di tutte le materie, con un approccio agli studi che ha più di quattrocento anni di vita.



Conclusioni
Dobbiamo distinguere il contributo della SJ  in toto da quello di alcuni dei suoi componenti. Nel primo caso bisogna sottolineare i meriti nel creare una struttura organica nell'insegnamento di tutte le discipline, definendo delle regole chiare di gestione dei Collegi e delle materie e del metodo di insegnamento, basato sul methodus parisiensis (cioè quello osservato da S. Ignazio stesso durante i suoi studi alla Sorbona a Parigi). Per quanto riguarda il contributo alla ricerca scientifica (che, evidentemente non è scopo di un ordine religioso) emergono risultati di grandissima importanza, come descritto prima. Certamente i giudizi dati complessivamente alla SJ partono da un punto di vista sbagliato, presupponendo un ruolo che la SJ si assume all'interno delle scienze che sia fine a se stesso e sminuendo in parte i risultati ottenuti (se non dimenticandoli talvolta).

(tratto da una conferenza di Marco Casazza, Dipartimento di Fisica, Università degli Studi di Torino)

Breve storia della trigonometria

Ripropongo qui un lavoro scolastico, leggero ma ben fatto, reperibile in formato pdf all'URL: http://nuke.pontonio.it/LinkClick.aspx?fileticket=tgF50cFxdWE%3D&tabid=65&mid=402.

Molti studenti imparano (più o meno bene) l'uso delle funzioni goniometriche seno, coseno, tangente... trovandosi davanti un pacchetto di "oggetti matematici" ben strutturato, un "sistema" perfetto di calcolo che lascia sovente disarmati rispetto alle proprie possibilità di interazione rispetto ad esse. Tutt'al più si impara ad utilizzarle, come accade ai migliori studenti del corso Geometri che ho avuto negli ultimi anni. Recuperare la storia di questi "oggetti matematici", permette di scoprirne la complessa genesi e la progressiva formazione del "sistema" goniometrico, così importante in tanti rami della scienza e della tecnica. Ecco perché mi piace valorizzare questo lavoro scolastico, che anzi è spunto per ulteriori interventi in questa direzione. Spero che chi legga queste righe abbia la voglia di lasciare un commento, grazie!

La storia delle funzioni trigonometriche si estende per circa 4000 anni. Vi sono delle prove che indicano che i babilonesi furono i primi ad usare delle primitive funzioni trigonometriche, in base ad una tabella di numeri scritta su una tavola cuneiforme babilonese risalente a circa il 1900 a.C. Vi è, tuttavia, un dibattito ancora aperto sul fatto che essa fosse una tavola trigonometrica o no. Il più antico uso della funzione seno appare nel Sulba Sutras scritto nell'antica India fra VIII e il VI sec. a.C., che calcola correttamente il  sin(π / 4) come 1/radq(2) , sebbene non fosse ancora stata sviluppata la nozione di seno in senso generale.

Più tardi, le funzioni trigonometriche furono studiate da Ipparco di Nicea (180-125 a.C.), che tabulò le lunghezze degli archi di circonferenza insieme alla lunghezza delle corde sottese.
Nel II sec. d.C., Claudio Tolomeo (85-165 d.C.) estese questo lavoro nella sua opera  Hè Megalè Syntaxis o Almagesto (dall’arabo al-Magesti), derivando formule di addizione e sottrazione equivalenti a  sin (α + β e ) cos (α + β) . Tolomeno ricavò, anche, l'equivalente della formula di bisezione ( sin (α / 2 ) ) e stilò una tabella dei suoi risultati. Né le tavole di Ipparco, né quelle di Tolomeo ci sono pervenute, nonostante le descrizioni di altri autori antichi lasciano pochi dubbi sulla loro esistenza.

I successivi importanti sviluppi della trigonometria si ebbero in India. Il matematico e astronomo Aryabhata (476–550 d.C.), nella sua opera Aryabhata-Siddhanta, definì per la prima volta il seno con la relazione moderna. Le sue opere contengono anche le più antiche tavole pervenuteci dei valori del seno da 0° e 90° (per intervalli di 3,75°), con un'accuratezza di 4 cifre decimali.

La parola moderna seno è derivata dalla parola latina  sinus, che significa "baia" o "piega", a causa di un errore di traduzione dall'arabo della parola sanscrita  jiva, infatti, Aryabhata usava il termine ardha-jiva ("metà-corda"), che venne abbreviato in jiva e quindi translitterato dagli Arabi come jiba.
I traduttori europei Roberto di Chester (XII sec. d.C.) e Gerardo di Cremona (1114-1187 d.C.), nella Toledo del XII sec., confusero jiba per jaib, che significa "baia", probabilmente perché jiba (بج) e  jaib  (بج) sono scritti allo stesso modo nella scrittura araba, che non fornisce al lettore informazioni sulle vocali.

Altri matematici indiani estesero successivamente i lavori di Aryabhata sulla trigonometria. Le opere indiane furono, in seguito, tradotte ed ampliate dai matematici arabi e persiani. Il matematico persiano Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi (780-850 d.C.) compilò tavole dei seni e delle tangenti e contribuì anche alla trigonometria sferica.
A partire dal X sec., nelle opere di Abu l-Wafa (940-998 d.C.), compaiono già tutte le funzioni  trigonometriche principali e le tavole per i seni con incrementi di 0,25° e con una precisione di 8 cifre decimali. Tutte queste opere pionieristiche sulla trigonometria erano legate  principalmente alle applicazioni in astronomia.
Suvvessivamente, nel XIII sec., il matematico persiano Nasir al-Din Tusi (1201–1274 d.C.) enunciò la legge dei coseni e ne fornì una dimostrazione. Nell'opera del matematico persiano
Ghiyath al-Kashi (1380-1429 d.C.), vi sono tavole trigonometriche che forniscono i valori della funzione seno con una precisione di 8 cifre decimali per intervalli di 1°.

In Europa, Johannes Müller (latinizzato come Joannes de Regio monte o Regiomontanus, 1436-1476 d.C.) fu forse il primo matematico che si occupò di trigonometria come disciplina matematica distinta, nel suo De triangulis omnimodus scritto nel 1464, come nel suo successivo Tabulae directionum che includeva una funzione equivalente alla moderna tangente, sebbene non venisse nominata esplicitamente.

Nell'Opus palatinum de triangulis di Georg Joachim Rheticus (1514-1576 d.C.), uno studente di Copernico, vengono definite le funzioni trigonometriche direttamente in termini di triangoli rettangoli piuttosto che di cerchi. Quest’opera contiene anche tavole per tutte le funzioni trigonometriche e fu completata dallo studente di Rheticus Valentin Otho (1550-1603 d.C.) nel 1596.

L'Introductio in analysin infinitorum del 1748 di Leonard Euler (1707-1783 d.C.) ebbe il merito di stabilire la moderna trattazione delle funzioni trigonometriche in Europa.

La Rivoluzione Dimenticata

Non si parla delle rivoluzione in Egitto,  Tunisia, Libia dello scorso anno e neppure di Praga, 1968. Si va più lontano, si scava più in profondità...

In questo lungo approfondito saggio Lucio Russo, dell'Università di Roma, descrive la scienza e la matematica nella cultura ellenistica e propone, documenti alla mano, la sua tesi: la scienza moderna non nasce con Galileo e Newton. Le sue origini vanno retrodatate di almeno 2000 anni, alla fine del IV sec. a.C. 
La Rivoluzione scientifica del XVIII sec. riscopre la Rivoluzione ellenistica di figure come Euclide, Archimede, Erarstotene, Aristarco di Samo e di tanti altri raffinati scienziati. 
Lo studio della "rivoluzione scientifica", cioè della nascita dello sviluppo scientifico, è indispensabile per la comprensione della "civiltà classica". 
Inoltre, l'esame del ruolo svolto dalla scienza nella civiltà ellenistica è essenziale per la valutazione di alcune questioni di capitale importanza per la storiografia, dal ruolo di Roma alla decadenza tecnologica medievale alla "rinascita scientifica" moderna.


E' una lettura affascinante che obbliga a smontare e rimontare le idee che un po' tutti noi abbiamo sulla storia della scienza, rivalutando l'opera degli antichi e soprattutto valorizzando un processo carsico di trasmissione delle conoscenze, delle tecniche e dei saperi attraverso il tempo.

Mappa del Mondo secondo Tolomeo, riproduzione del 1496 

E alla ip più uno uguale a zero

Qualche tempo fa uno studente un po' sovrappensiero mi chiese: "proff ma come farà lei a studie' utte 'ste robe... e poi 'ste formule brutte...una pegio de quel'altra". In effetti c'è una zona della goniometria in cui le formule la fanno da padrone: riempiono lavagne e quaderni e spesso confondono le idee, soprattutto ad un certo tipo di studente... Risposi allo sventurato:" guarda, che in realtà le formule sono oggetti belli... anzi fra le formule si fanno anche dei veri e propri consorsi da Miss... e adesso ti faccio vedere la formula che è riconosciuta come la più bella di sempre..." e, preso uno spezzoncino di gesso abbastanza lungo da essere impugnato, scrissi la FORMULA DI EULERO:

Mi è rimasta poi una certa inquieta curiosità perché ormai da qualche anno non la vedevo più e k'incontro con una Miss, comunque crea turbamento. Girando in rete, ho scperto un sito dove si trattano questioni matematiche, ovvero: http://ciaoidea.it/L'_identit%C3%A0_di_Eulero.

Da quella pagina ho recuperato l'origine (analitica) della formula, che ripropongo qui sotto, sperando di fare cosa gradita ai miei lettori e diffondendo il lavoro svolto da chi segue e gestisce il sito in questione (http://ciaoidea.it/L'_identit%C3%A0_di_Eulero>).

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Consideriamo l'equazione

1) 

non esiste nessun numero reale che elevato al quadrato restituisca -1, in quanto il quadrato di un numero reale è un numero positivo oppure nullo. Le soluzioni sono

essendo  un' entità matematica non reale o immaginaria indicata con la lettera i

quindi le soluzioni dell'equazione 1) sono

ossia

se ne deduce quindi che i numeri reali si ottengono da operazioni con numeri immaginari (in questo caso il quadrato dell'unità immaginaria) quindi l'insieme dei numeri reali R non può che essere un sottoinsieme di un insieme ancora più vasto costituito da numeri reali e da numeri immaginari: tale insieme è quello dei numeri complessi C

Possiamo definire quindi un numero complesso z come un vettore costituito da una coppia di valori: uno reale (a) e ed uno immaginario (ib) rappresentabile nel Piano di Gauss:

essendo:

   è l'angolo formato tra il vettore z e l'asse reale e valgono quindi le relazioni:

segue :

2) 

deriviamo ora z rispetto a  per vedere come tale vettore rapidamente varia in funzione di questo angolo:

ipotizzando  costante risulta:

ma ricordando la definizione di z nella 2) risulta:

sommiamo attraverso un processo di integrazione tutte le microvariazioni di z rispetto a :

3) 

per la 2) risulta:

se  otteniamo la formula di Eulero

se  otteniamo

questo risultato è facilmente comprensibile: quando l'angolo  corrisponde a 180° la punta del vettore complesso coincide nella direzione ma con verso opposto all'asse reale (ved. segno negativo) e con modulo 1

da qui segue la famosa identità di Eulero:

L'equazione, elegante e concisa, racchiude ben 5 entità fondamentali della matematica:

- il numero di Nepero o Eulero:  - la costante  - il numero immaginario  - il numero naturale  - il numero naturale 

La bellezza della matematica risiede nella pluralità delle possibili connessione che un risultato riesce ad evocare. La formula di Eulero mostra una profonda relazione fra le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa. (L'identità di Eulero è un caso particolare della formula di Eulero). Ora visto che i numeri complessi sono un insieme molto più grande dei numeri reali e visto che attraverso questi ultimi è possibile descrivere i fenomeni fisici naturali possiamo concludere che i numeri complessi possono essere utili a descrivere la fisica dei fenomeni in modo più generale e matematicamente più compatto.

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LEONARDO E I PROBLEMI CLASSICI DELLA GEOMETRIA

Propongo la mia traduzione con adattamento di un interessantissimo articolo di Sylvie Duvernoy che ho reperito in lingua inglese, con il titolo “Leonardo and Theoretical Mathematics”. La resa linguistica è senz'altro da migliorare, ma il contenuto mi sembra chiaro.
Giuseppe


LEONARDO E I PROBLEMI CLASSICI DELLA GEOMETRIA

§ 1 Introduzione

L'incontro con Pacioli segna una svolta nella vita di Leonardo per quanto riguarda lo studio della matematica. Guidato dal suo maestro e amico, ha iniziato uno studio sistematico di matematica teorica, attraverso le pubblicazioni più recenti e contemporanea fino ad arrivare torna ai testi classici della disciplina. E 'chiaro che, come ogni scienziato del suo tempo, ha accuratamente studiato gli Elementi di Euclide e si avvicina ai problemi della matematica greca. Abbiamo a nostra disposizione un buon numero di trattati di architettura e matematica prodotti nel Rinascimento, ma le ricerche preliminari necessarie per la compilazione di quei libri sono andate tutte perdute. Leonardo, invece, ha lasciato ai posteri una quantità enorme di documenti manoscritti che possono essere considerati come note preliminari per i testi mai pubblicati. Le sue note, anche se confuse e un po ' disordinate, sono molto preziose perché testimoniano il lavoro in corso e ci permettono di guardare direttamente nella mente dello scienziato. Mentre nei trattati definiti e pubblicati possiamo trovare solo le soluzioni di problemi e le regole scritte in forma definita, nei manoscritti di Leonardo si trovano numerose domande che l'autore si pone per giungere ad una conclusione, a volte, dandoci preziose informazioni per quanto riguarda il processo di ricerca matematica nel periodo rinascimentale, che coprono un ampia gamma di approcci, dalla grafica e l'aritmetica, di geometria e analisi.

§ 2 La duplicazione del cubo

La prima cosa che colpisce è come almeno due delle tre problemi della geometria classica erano frequentemente presenti nella mente degli scienziati del Rinascimento: la duplicazione del cubo e la quadratura del cerchio.

Leonardo dedicò molti sforzi per cercare di risolvere il problema della duplicazione del cubo. Questo problema, secondo la leggenda legata ad esso, è l'esempio più antico di una rapporto tra architettura e matematica. La gente di Delos dovette affrontare un enigma architettonico riguardante un monumento religioso. L'oracolo aveva chiesto di costruire un altare ad Apollo due volte più grande di quello precedente, che era di forma cubica. Ma quale dovrebbe essere la dimensione del lato del cubo nuovo al fine di ottenere un cubo di volume doppio rispetto a quello originale? Dopo un primo, sbagliato, tentativo che consiste nel raddoppiare il lato del cubo, il problema divenne da architettonico a matematico, dato che non avendo a disposizione il calcolo algebrico di quantità irrazionali, la questione restava aperta. La predilezione di Leonardo per questa specifico problema deriva sicuramente dal suo evidente interesse per la geometria tridimensionale e stereometria. I suoi molti sforzi per risolvere il problema passano attraverso ingenui tentativi empirici, fino allo studio di soluzioni classiche, seguendo i diversi tipi di metodologie di ricerca scientifica.

§ 2.1 Un approccio grafico: Codice Arundel, foglio 283v.

Leonardo si chiede se ogni tipo di semplice estensione da due a geometria tridimensionale esiste (fig. 1). Può il teorema di Platone sulla duplicazione del quadrato essere esteso alla duplicazione di il cubo? È il volume di un cubo costruito da un doppio quadrato doppio del volume di una singola unità cubo?

Se la diagonale di un quadrato con un lato di 1 è la visualizzazione grafica di la quantità incommensurabile della radice quadrata di due, è la diagonale di un cubo con un lato di 1 la risposta grafica al numero irrazionale pari alla radice cubica di 2?

Le risposte è negativa. La diagonale del cubo è pari alla radice quadrata di 3, e non la radice cubica di 2, che è un numero inferiore alla radice quadrata di 2.

§ 2.2 Un approccio aritmetico: Codice Arundel, foglio 283v.

A seguito di un'altra idea, Leonardo poi cerca di estendere il teorema di Pitagora su triangoli rettangoli dai quadrati ai cubi. Se la somma dei quadrati dei lati di questi triangoli è uguale al quadrato dell'ipotenusa, si può applicare lo stesso principio a cubi? Prendendo l'esempio più semplice, il triangolo 3-4-5 (il cosiddetto "triangolo egiziano"), il calcolo appare subito deludente.

Più in generale, c'è un numero di cubi che possono essere divisi in la somma di due minori numeri cubi? Sarebbero questi tre numeri portano alla scoperta di una particolare famiglia di triangoli? La risposta è no. L'equazione aⁿ + bⁿ = cⁿ non ha una soluzione in numeri interi per n > 2. Ma questo teorema non era ancora stata dimostrato: occorre attendere il 1753 quando Leonhard Eulero ha dimostrato che l'equazione a³ + b³ = c³ non ha soluzione. E la dimostrazione finale del cosiddetto "teorema di Fermat terzo", che è che l'equazione generale aⁿ + bⁿ = cⁿ non ha una soluzione per n > 2, è stato data da Andrew Weil nel 1993.

§ 2.3 Un approccio stereometrico: Codice Arundel fogli 223v e 223r.

Altre pagine testimoniano uno sforzo strenuo per risolvere il problema di Delo secondo un approccio stereometrico. Invece di raddoppiare il cubo di lato unitario, Leonardo inverte il problema e cerca di dividere un cubo in due più piccoli e uguali. Si comincia con un cubo che si divide in 27 piccole unità - che è facile perché è stato "fatto da la radice cubica di 27", pari a 3 -, ma 27 è un numero dispari le cui quote non possono essere riorganizzate in due piccoli uguali cubi. Così, Leonardo prende un altro cubo composto da 8 unità piccoli cubi e cerca di capire come organizzare quattro di queste unità in una forma cubica. Nel frattempo, cerca di scoprire se esiste una relazione direttamente proporzionale tra la superficie e il volume di un solido.

È la superficie di un solido proporzionale al suo volume? Questa eventualità potrebbe offrire una comoda soluzione per riportare il problema dalla geometria a tre dimensioni a quella bidimensionale, ma capisce subito che l'idea è sbagliata. La conclusione negativa si accende sul retro dello stesso foglio, che contiene l'affermazione "... in modo da non utilizzare questa scienza cubi in base alla loro superficie, ma secondo i loro corpi, perché una stessa quantità è diverse superfici di valori infiniti ... superfici pari non sempre contengono corpi uguali ... ". Quindi, tornando al cubo di 8 unità, Leonardo si chiede: "se ho un cubo fatto di otto cubi, l'ho fatto da la radice cubica di otto ... se la radice cubica di 27 è 3, che è la radice di 8? ".

§ 2.4 Un altro approccio aritmetico: Codice Atlantico, foglio 161r.

Trovare un valore approssimato per la radice cubica di 8, non avrebbe risolto il problema della duplicazione del cubo in ogni caso, né il corollario inverso, la sua divisione in due. Solo la determinazione di un valore approssimato della radice cubica di 2 avrebbe dato una soluzione a questo problema di aritmetica (fig. 3).

Occorre notare che nei libri pubblicati matematica dei tempi di Leonardo (ad esempio la Summa de Aritmetica geometria proportioni e proportionalità di Luca Pacioli, ecc ...), il valore di π era stato a lungo considerato circa uguale a 22 / 7, e la radice quadrata di 2 quasi equivalente a 7 / 5 (o 14/10), mentre le radici cubiche, che non sono uguali a un numero tondo, come ad esempio la radice cubica di 27 o 64, non sono approssimata da una frazione, ma rimangono come "radice cubica di x" e la gli autori non danno i valori stimati per loro.

Leonardo ha raggiunto una approssimazione accettabile per la radice cubica di 2: successivi tentativi di calcolo lo portano a concludere che un cubo di un 5 unità di lato ha volume circa doppio rispetto a quello di un cubo di un 4 unità laterali. Tutto sommato 125/64 è accettabile come una buona approssimazione di 128/64 = 2.

Quindi 5/4 può quindi essere considerata una buona approssimazione della radice cubica di 2, che può di conseguenza essere adottato da quel momento in poi ai fini pratici come approssimazione della radice cubica di 2 (fig. 4).

§ 2.5 Un classico approccio geometrico: Codice Forster I, foglio 32.

Oltre che ricercare delle soluzioni per la duplicazione del cubo, Leonardo studiò anche le soluzioni classiche dei matematici greci, probabilmente sotto l'egida di Luca Pacioli, che era uno studioso di Euclide. La prova di questo può essere visto nella interpretazione accuratamente disegnato di Apollonio metodo per il problema di Delo (fig. 5).

Ippocrate di Chio aveva ridotto il problema della duplicazione del cubo a quello di trovare due medie proporzionali tra due linee che rappresentano due grandezze aritmetiche. Le tre risposte più famose sono il lavoro di tre matematici dell'era platonica: Archita, Eudosso e Menecmo. Queste soluzioni sono state seguite da molti altri, tra cui uno attribuito a Apollonio che è particolarmente semplice sia concettualmente che graficamente. Il metodo di Apollonio non è tra le soluzioni classiche che cita Vitruvio nel suo trattato, e che Barbaro ha illustrare nel suo commento di Vitruvio, aggiungendo la proposta di Nicomede. Questo metodo è derivato da Euclide, e più precisamente dal Libro II, ultima proposizione: da un rettangolo dato, trovare un quadrato equivalente, o in senso opposto: da un quadrato dato, l'equivalente rettangolo di avere un data base (fig. 6).

La dimostrazione è la seguente: se le due prime linee dritte (A e B) sono assemblati per formare due lati adiacenti di un rettangolo, un righello deve essere posizionato sul lato opposto vertice di quel parallelogramma, e girando attorno al perno così formato fino a che taglia in due linee che si estendono fuori dai lati iniziali del rettangolo in due punti equidistanti dal centro del rettangolo. L'equidistanza è verificata - e dimostrata – dal disegno dell'arco tracciato con un compasso il cui centro è posto al centro del rettangolo: il punto di intersezione delle sue diagonali. I valori dei due intervalli così ottenuto (X e Y) tra i lati del rettangolo ed i punti di intersezione saranno i due ricercati elementi proporzionali (fig. 7).

In accordo con la tradizione dei disegni matematici greci, il diagramma disegnato da Apollonio per illustrare la sua dimostrazione è estremamente schematica e bidimensionale: si rappresenta la proiezione ortogonale parziale di volumi su un piano parallelo ad uno delle loro superfici. Può essere considerato sia una vista dall'alto - ichnographia - o una vista frontale - orthographia. Il rettangolo rappresentato nello schema è la superficie di un parallelepipedo la cui profondità è uguale alla sua larghezza: un prisma (non rappresentabile sulla figura a causa della sua perpendicolarità al piano di disegno) a base quadrata e data altezza. La dimostrazione di Apollonio può essere compresa con l'aiuto della figura solo se il lettore è in grado di interpretare correttamente, sostituendo le informazioni mancanti per quanto riguarda la terza dimensione con un procedimento mentale che completa il messaggio. Leonardo, durante gli studi e schizzi, ha aggiunto la terza dimensione, trasformando la figura in una prospettiva (assonometrica?) di disegno, al fine di facilitare la comprensione (vedi fig. 5).

Il disegno di Leonardo mostrato nel Codice Atlantico fol. 588 r (fig. 8) illustra il caso in cui il cilindro è un cubo doppio, e fa una scoperta, quando nota (probabilmente per caso) che BF è uguale a BE. Ciò implica che la costruzione geometrica può essere ridotta a una manipolazione molto semplice e veloce del righello (con i più supporto leggero di una compasso), e rappresenta un passo importante verso la semplificazione delle soluzioni di questo problema, che ha ispirato le invenzioni più sofisticate e costruzione di pesanti strumenti di disegno meccanico fin dall'antichità. Il metodo di Leonardo permette di saltare prove meccaniche di Apollonio di bilanciare la linea sul punto A, e contemporaneamente disegnare un arco con centro in M, che Leonardo giudicata imprecisa e discutibile, con un risultato che può essere ottenuto solo attraverso il “faticoso negozio”.

La semplificazione permette di diffondere e rendere popolare.

La rappresentazione grafica di questa quantità sconosciuta e incommensurabile della radice cubica di 2 è diventata facile come – per esempio - la costruzione di un pentagono inscritto in un cerchio. Ma Leonardo ammette di non essere in grado di costruire una teoria esplicativa della sua ricerca personale, ed è per questo che possiamo supporre che egli ha raggiunto in modo del tutto empirico. La dimostrazione teorica non è specialità di Leonardo. L'indagine e la sperimentazione tendono a fermarsi quando una scoperta è stata fatta, nella speranza e la fretta di fare altro. La didascalia accanto alla figura nel Codex Atlantico riportata in fig. 8 dice: "Se tu mi dici per quale motivo il diametro della metà dei cerchio si inserisce sei volte nella sua circonferenza e perché la diagonale del quadrato non è commensurabili al suo fianco, io vi dirò perché la linea retta che va dal superiore vertice di uno dei due quadrati fino al centro del quadrato secondo ci mostra la radice cubica dei due cubi ridotta in uno solo ".

§ 3 La quadratura del cerchio

Leonardo si è anche prodigato nel tentativo di risolvere un secondo problema classico: la quadratura del cerchio. Un giorno si afferma anche di aver raggiunto una soluzione: nel Codice di Madrid II, foglio 112R leggiamo: "la notte di S. Andrea, ho finalmente trovato la quadratura del cerchio, e come la luce della candela e la notte e la carta su cui ho scritto stavano arrivando ad un fine, è stato completato, alla fine dell'ora "... ma la soluzione non c'è ....

L'approccio di Leonardo alla quadratura del cerchio è ovviamente ispirato ad Archimede, anche se non è chiaro se è per lettura diretta o solo per conoscenza di seconda mano. In ogni caso, è rimasto insoddisfatto del rapporto approssimativo tra il circonferenza e il diametro di 22 / 7. Perciò egli cerca di prendere questa approssimazione al di là del poligono a 96 lati, nel tentativo di portare la differenza di zone comprese tra cerchio e poligono ad essere il più piccolo possibile, pensando proprio al "punto matematico", che, da Euclide in poi, non ha estensione. Questa ricerca genera una quantità enorme di disegni che mostrano una varietà infinita di forme decorative (il meraviglioso Codice Atlantico, fol. 471, fig. 9). La ricerca geometrica si trasforma in un interminabile, giocoso, gioco di grafica. Leonardo voleva scrivere e pubblicare un trattato in modo da rendere pubblica la sua scoperta, e il suo titolo sarebbe stato De Ludo geometrico. Questa metodologia non porta ad una soluzione soddisfacente, o anche a qualsiasi progresso verso una risultato, ma il valore del suo impegno si trova in questo tentativo di estensione ad infinitum.

§ 4 Contributo di Leonardo alla ricerca matematica

E 'nel regno della geometria tridimensionale che Leonardo raggiunto il suo più grande risultato: la determinazione della posizione del centro di gravità di una piramide.

§ 4.1 Un approccio meccanico: codice Arundel, foglio 218 v.

Il passaggio alla geometria ridimensionale inizia con lo studio del libro di Archimede “De planorum aequilibris”. Leonardo deve essersi sentito a proprio agio con metodo sperimentale di Archimede, dove le superfici piane sono considerati un peso e sono appesi alla fine di leve e corde in ordine per determinare la posizione esatta del loro centro di gravità. Archimede si occupa di superfici, in particolare triangoli, mentre Leonardo estende l'esperimento ai solidi, e prima di tutto al tetraedro regolare. Sapendo da precedenti studi la posizione dei centri di gravità delle facce del solido, scopre che "il centro di gravità del corpo di quattro basi triangolari si trova all'incrocio dei suoi assi e sarà nel quarto parte della loro lunghezza " (fig. 10).

La generalizzazione di questa scoperta porta alla affermazione che "il centro di gravità ogni piramide - rotonda, triangolare, quadrata, o di qualsiasi numero di lati - si trova nella parte quarta del suo asse vicino alla base."

Il Codice Arundel foglio 123V vi è un ulteriore teorema in merito al tetraedro:

la piramide con base triangolare ha il centro della sua gravità naturale nel segmento che si estende dal centro della base [che è il punto medio di un faccia] a metà del lato [cioè, della faccia] di fronte alla base, ed è situato sul segmento equidistante della linea che unisce la base con il lato suddetto.

§ 5 Conclusione

Da questo breve studio delle opere di Leonardo nel campo della matematica teorica sembra che stereometria e geometria solida siano stati i settori in cui meglio si è espressa la capacità inventiva di Leonardo, e questo è probabilmente dovuto alla sua abilità nella rappresentazione tridimensionale, che gli ha permesso di ottenere una visualizzazione precisa degli oggetti dei suoi studi. Tutti i fogli dei vari codici sono pieni di schizzi prospettici che non sono disegnati in conformità alla recentemente costituita “costruzione legittima”, ma a seguito di una spontanea capacità di rappresentare che spesso genera una sorta di disegnio pre-assonometrico piuttosto che in prospettiva.
Su un piano più generale, possiamo concludere che Leonardo ha contribuito alla matematica e alla scienza nel periodo rinascimentale, dimostrando la potenza dello strumento di rappresentazione tridimensionale come un dispositivo di ricerca, tanto quanto uno strumento persuasivo.
La famosa serie di disegni dei solidi platonici - e non - che egli fece come illustrazioni per il libro del suo amico Luca Pacioli è semplicemente uno dei tanti esempi di questo senso.