JACOPO DA CREMONA : MATEMATICHE NEL RINASCIMENTO

Nella vicenda culturale e professionale di Jacopo , successore di Vittorino da Feltre , e traduttore dal greco inlatino delle opere di Archimede , sembrano compenetrarsi in modo esemplare la dimensione letteraria e quella scientifica dell'Umanesimo .

Quando nel 1544 la versione latina delle opere di Archimede fu stampata a Basilea insieme all'" editio princeps " in greco , Jacopo era già scomparso da un secolo . Che cosa indusse Thomas Gechauff , detto Venatorius , editore di questa fondamentale raccolta archimedea , a scegliere la versione latina dei
testi del matematico siracusano curata dall'allievo e successore di Vittorino da Feltre ?
Quando poi il matematico Cristoforo Clavio , nel 1599 , redigendo per la Ratio Studiorum dei Collegi gesuiti , il programma di insegnamento delle scienze matematiche , introdusse lo studio delle opere di Archimede , l'edizione di Basilea aveva già avuto vasta circolazione e lettori illustri . Quale fu , allora , il reale contributo dell'umanista Jacopo all'insegnamento delle scienze matematiche nel XV e nel XVI secolo e quale il suo ruolo nella rinascita archimedea che precedette e accompagnò la rivoluzione scientifica ?(1) Forse per rispondere ci si dovrà chiedere quale correlazione vi sia stata tra la sua esperienza didattica alla Ca' Giocosa di Mantova e il suo paziente lavoro di filologo e traduttore di opere scientifiche dal greco al latino . "Non è infatti un caso - scrive al riguardo Cesare Vasoli - che dalla scuola umanistica uscissero anche medici , uomini di scienza e traduttori di testi essenziali della scienza antica , come Jacopo di S. Cassiano che fu uno degli autori della rinnovata fortuna di Archimede " .(2) Nell'esperienza particolare di Jacopo , l'interesse personale per lo studio delle lingue greche e latine si coniugò con le ricerche in campo matematico e con una diretta esperienza di insegnamento . D'altro canto la storiografia delle scienze  matematiche fornirebbe oggi un quadro incompleto e darebbe una interpretazione deformata della valenza culturale della scienza se non considerasse anche le connessioni intercorse in ogni epoca storica tra la matematica e gli altri ambiti disciplinari ed esperenziali . Diviene allora importante , per poter cogliere l'articolazione interna delle diverse discipline matematiche e il loro trasformarsi sino a costituire modello di riferimento per ogni forma di conoscenza , analizzarne i processi fondamentali di insegnamento e apprendimento nel corso della storia (3). Nella formazione personale di Jacopo , l'umanesimo pedagogico del " contubernium " fece da guida agli interessi filologici e ai successivi studi nel campo delle scienze matematiche .


Jacopo allievo e successore di Vittorino da Feltre  
Alcuni elementi biografici , relativi alla formazione giovanile di Jacopo e alla sua successiva esperienza di docente , appaiono particolarmente interessanti .
Egli ,compiuti gli studi giovanili a Cremona , divenne , come conferma lo storico della scienza G. Sarton , canonico regolare di Sant'Agostino (4). Nel XV secolo , a Cremona , come in altri centri dell'umanesimo italiano , convivevano nell'ambito matematico due distinte tradizioni : una " cultura matematica dotta " , coltivata nell'insegnamento universitario e una " cultura matematica pratico-operativa " insegnata nelle scuole d'abaco attraverso i manuali in volgare . Ne è esempio , fra tutti , l'opera del cremonese Leonardo Antoni , autore di una " Pratica geometriae o Artis metrice practicae compilatio " , che fu docente a Bologna sin dal 1405 - 1406 . Il livello notevole raggiunto dagli studi dell'Antoni è testimoniato da un passo tratto dal Codice Atlantico [f. 247 ra] in cui Leonardo da Vinci afferma : " Tolli l'opere di Leonardo Chermonese " .
E' molto significativo che già nei manoscritti l'opera di Leonardo Antoni compaia sia in latino che in volgare . Nel trattato dell'Antoni si trova , tradotta in volgare e seguita da un esempio numerico di applicazione della formula , la regola di Erone per il calcolo dell'area di un triangolo in funzione dei suoi lati . L'uso di tale regola , presente nell'opera della tradizione araba dei Banu-Musa e nota col titolo " Verba filiorum " , tradotta in latino da Gerardo da Cremona ( sec. XII ) , segnala che il matematico cremonese del XV secolo era a conoscenza delle ricerche geometriche archimedee della tradizione greco-araba . Il lavoro di ricerca e insegnamento dei matematici del Quattrocento , come Leonardo Antoni ,a cui anche Jacopo deve la propria iniziale formazione scientifica , si sviluppò in pieno Umanesimo . Essi così alternarono la riscoperta dei classici con i tentativi , sempre più frequenti , di dare alle loro opere una veste manualistica che ne consentisse da un lato la più vasta circolazione e , dall'altro , finalizzasse i loro testi direttamente all'insegnamento . E' infatti chiaramente evidente un lento ma significativo e parallelo procedere tra la traduzione e la diffusione delle opere matematiche della tradizione greco-araba e l'affinamento della prassi didattica nella cultura occidentale come documenta il Beaujouan (5) .
Contemporaneamente , si andavano diffondendo le scuole d'abaco e i testi della matematica abachistica iniziavano a comparire nelle principali biblioteche , sia religiose che accademiche e laiche , a testimonianza della chiarezza e fruibilità dell'insegnamento delle scienze matematiche in essi contenuto .
Molte biblioteche si arricchirono così , nel corso del XV secolo delle trascrizioni di tali testi matematici , accanto ai codici latini e greci. Esemplare , in tal senso , secondo un inventario del 1407 , è la biblioteca allestita dai Gonzaga a Mantova . Ed è proprio in questa città che Jacopo si trasferì per proseguire i propri studi presso la Ca' Giocosa sotto la guida di Vittorino Rambaldoni da Feltre ( 1378 - 1446 ) . Vittorino , studente a Padova della Facoltà delle Arti e allievo di Giovanni Conversino ( 1343 - 1431 ) e del Barzizza ( 1360 - 1431 ) , manifestò un personale interesse giovanile per le scienze matematiche . Seguì l'insegnamento di Jacopo della Torre e cercò di avere da Biagio Pelacani di Parma , uno dei più tipici fisici moderni legato alle dottrine dei calculatores , l'iniziazione ai misteri geometrici degli Elementa di Euclide.

Negli anni trascorsi sotto la guida di Vittorino , Jacopo ebbe come compagni di studi futuri principi quali Ludovico Gonzaga e Federico da Montefeltro , chierici destinati alla carriera ecclesiastica come Giovanni Andrea Bussi , traduttore di Livio , divenuto poi segretario di Nicolò Cusano (1401 - 1464 ) , insieme ad una schiera di illustri umanisti e filologi . Il cremonese studiò il greco con maestri d'eccezione , come Giorgio di Trebisonda , chiamato da Vittorino ad insegnare alla Giocosa nel 1430 e Teodoro Gaza che vi insegnò nel 1440 . Del resto lo stesso Vittorino conosceva bene il greco dal momento che , come annota il Castiglione : " Per tutto l'inverno lo vidi che , dopo cena , leggeva , assolutamente all'improvviso , senza difficoltà alcuna , il libro di Euclide ad uno dei suoi scolari (6) ". E' assai probabile che lo stesso Jacopo , avendo già manifestato particolari attitudini in campo matematico , abbia potuto ascoltare una simile lettura direttamente dalla voce del maestro. Jacopo fu certamente guidato da Vittorino m che aveva seguito le lezioni di logica di Paolo Veneto , già allievo delle scuole di Oxford e di Parigi , a distinguere le caratteristiche logico-dimostrative delle argomentazioni legate alle procedure adottate da Euclide nelle diverse proposizioni : dalla " reductio ad absurdum " , alla " consequentia mirabilis " . Tutte conoscenze logicomatematiche di cui Jacopo farà tesoro quando dovrà affrontare la traduzione di opere matematiche complesse quali quelle di Archimede . Gli umanisti , infatti , si accostarono ai trattati matematici , da Euclide ad Archimede , come a compiute opere di logica . Alla morte di Vittorino , avvenuta nel 1446 , Jacopo gli successe sia come precettore dei figli della famiglia Gonzaga sia nella direzione della Ca' Giocosa . Ne è testimonianza la lettera di Ludovico III Gonzaga , datata 7 giugno 1449 e indirizzata al Pontefice Nicolò V . Jacopo conservò gli ideali di " vita pitagorica " appresi da Vittorino e secondo lo schema disciplinare , predisposto dal maestro , insegnò teologia e filosofia , logica e scienze matematiche . Ricorda in proposito Sassolo da Prato , già alunno e collaboratore di Vittorino nell'insegnamento della matematica e della musica dal 1438 al 1444 , " vengono quindi le Matematiche , l'Aritmetica , la Geometria , l'Astrologia e la Musica , le quali meritano propriamente d'esser chiamate discipline , come scienze esatte e positive " (7) .


Jacopo traduttore di Archimede
Nel 1449 , Jacopo si trasferì a Roma e nello stesso anno del suo arrivo presso la curia pontificia ricevette dal papa Nicolò V l'incarico di tradurre dal greco in latino il manoscritto oggi denominato come codice A contenente tutte le opere allora conosciute di Archimede (8). Tale codice era conservato nella biblioteca vaticana sin dal XII secolo . La decisione del pontefice fu certamente dettata anche dalla fama di profondo conoscitore delle lingue greche e latine e di " doctissimus mathematicus " che aveva preceduto Jacopo prima del suo arrivo a Roma . Egli aveva , infatti , già intrapreso la traduzione della " Bibliotheca historica universalis " dello storico greco Diodoro Siculo ( I sec. a.C.) . In un manoscritto , del 1469 , conservato oggi a Londra fu trascritta la traduzione di Jacopo dell'opera di Diodoro (9) . Nel volume primo dell'opera di Diodoro , Jacopo lesse la narrazione del viaggio di Archimede in Egitto e la sua invenzione della vite senza fine , detta " coclea " . Jacopo , inoltre , conosceva l'opera di Plutarco , presente nella biblioteca di Vittorino . Ed è a Plutarco che si devono interessanti osservazioni di carattere epistemologico sull'opera matematica di Archimede . Questo bagaglio di conoscenze pregresse consentì a Jacopo di accostare il testo archimedeo con competenza e di individuarne , grazie alla propria formazione umanistica , le diverse chiavi di lettura . Alla versione latina delle opere di Archimede Jacopo dedicò gli anni dal 1449 al 1453 , eseguendo anche la versione dei Commentarii ad Archimede composti da Eutocio di Ascalona( sec. V-VI d.C.) . Nella stesura della propria traduzione , Jacopo ebbe modo di consultare una precedente versione latina dei testi archimedei eseguita nel 1269 dal domenicano Guglielmo di Moerbeke (1215 - 1286 ) , custodita nella Biblioteca Vaticana .
M. Clagett ha condotto un'accurata analisi testuale , raffrontando la versione di Jacopo con quella del Moerbeke . Da questo studio emerge con chiarezza , come afferma lo stesso Clagett , che" .. Moerbeke's being literal , while Jacobus' is considerably freer " (10). Alcuni passi delle due traduzioni , raffrontati con l'originale greco , suffragano le tesi del Clagett . Ad esempio , Jacopo usa di preferenza il termine " portiones " anziché " sectores " , riferendosi alle aree comprese tra due tangenti e un arco del cerchio . In altri passi del manoscritto greco , ove si legge " λαμβανομένοισ " , Guglielmo traduce " acceptis " , mentre Jacopo rende con " sumptis " , accentuando il carattere ipotetico dell'assunzione . Si tratta evidentemente di due differenti stili di traduzione , oltre che della diversità tra il latino medioevale e quello dell'Umanesimo . Jacopo , redigendo la propria versione , ha ben presente la sua personale esperienza di docente e finalizza l'opera anche alla comunicazione orale costituita dalla lectio ai discenti del contubernium . Il testo deve quindi essere chiaro , comprensibile e scritto in lingua latina scorrevole, a differenza di quello letterale e conciso del Moerbeke . E' così riscontrabile una diretta correlazione tra l'attività di magister svolta
da Jacopo e le sue personali opzioni linguistiche e terminologiche nella traduzione delle opere archimedee . Lo attesta il raffronto diretto tra il testo greco e la versione latina di Jacopo . Ad esempio , nel libro primo dell'opera archimedea De sphaera et cylindro libri nel testo greco è scritto " .. κύκλω δοθέντος καί δύο μεγέθων άνίαων " e in latino , nella versione del cremonese , .. " circulo dato e duabus magnitudinibus in aequalibus " . Già nel corso del Quattrocento il manoscritto contenente le traduzioni archimedee di Jacopo ebbe numerosi lettori e importanti trascrizioni . Uno dei primi lettori della stesura manoscritta dell'opera di Jacopo fu il cardinale filosofo e matematico Nicolò Cusano ( 1401 - 1464 ) . Egli aveva come segretario a Roma proprio quel Giovanni Andrea Bussi , già compagno di studi di Jacopo a Mantova .
L'attribuzione a Jacopo della versione latina delle opere archimedee si ha , per la prima volta , nel 1456 nello scritto di Bartolomeo Facio De viribus illustribus liber (11) . La seconda e definitiva attribuzione delle opere di Jacopo si deve al Regiomontano ( Johann Muller , da Konigsberg 1436-1475 ) che nel 1462 , a Roma , eseguì una copia del manoscritto di Jacopo . Tale copia è ancora oggi conservata nella biblioteca di Norimberga (12) . Quando poi , nel 1470 , il Regiomontano curò una prima edizione a stampa delle traduzioni archimedee di Jacopo , l'umanista cremonese era già prematuramente scomparso , senza aver potuto rivedere e correggere il proprio lavoro . Nel 1474 , Regiomontano redasse un elenco delle opere scientifiche da lui stampare inserendovi anche quelle di Jacopo . Tale elenco fu noto , tra gli altri , anche a Copernico . La data di morte di Jacopo si può collocare tra il 1454 , anno immediatamente successivo alla conclusione delle traduzioni archimedee , e il 1456 dal momento che l'umanista Facio , scrivendo il tale anno , menziona la morte di Jacopo come prematura e da poco avvenuta . Risultano allora chiare le motivazioni culturali e scientifiche che indussero , nel 1544 , Thomas Gechauff , detto Venatorius , curatore della prima edizione a stampa delle opere in greco di Archimede e l'editore J. Herwagen ad aggiungere all'originale la versione latina di Jacopo da Cremona . Lo stesso Venatorius nella sua prefazione a questa edizione del Cinquecento precisa : " Non tam utilibus quam necessariis mortalium generi , veluti palam est legere in istis libris , quos Jacobus cremonensis in ea tempestate duolici honore dignuus , eum quod graecae doctus esset tum quod linguarum commercio adiutus , hanc opera solus viderentur absolvere posse in gratiam Nicolai V Rom. Pont. "(13) . L'edizione a stampa del Venatorius ebbe ampia diffusione in tutta l'europa .
Da questo momento in poi , gli studiosi del Cinquecento poterono leggere e approfondire le opere di Archimede , sia nell'originale greco che nell'elegante versione latina dell'umanista italiano Jacopo da Cremona . Per tutto il Cinquecento , infatti , l'opera di Archimede fu intesa come sintesi ideale delle scienze matematiche e , in particolare , la tradizione archimedea greco-latina , di cui Jacopo è rappresentante significativo , costituisce un tratto caratteristico delle ricerche matematiche del Cinquecento . In questo secolo la riedizione dei testi della scienza antica è uno degli impegni primari degli studiosi italiani. Tale attività non si limitava ad una semplice pratica erudita , ma postulava precise conoscenze filosofiche e scientifiche possedute dagli stessi traduttori .
E oggi compiutamente documentato che la traduzione , la correzione , il commento e l'ampliamento dei testi antichi , nel XVI secolo , aveva tre fondamentali funzioni culturali e didattiche : la revisione e l'aggiornamento del linguaggio scientifico , l'approfondimento di alcuni problemi aritmetici e geometrici già noti , l'introduzione di nuovi ambiti della ricerca matematica che costituiranno la premessa indispensabile per le successive scoperte scientifiche .

E' emblematico il fatto che nell'anno 1543 , un anno prima dell'edizione a stampa delle opere di Jacopo , vengono pubblicati sia il De revolutionibus orbium caelestium di Copernico sia la versione in lingua volgare italiana degli Elementa di Euclide ad opera di Nicolò Tartaglia ( 1506 - 1559 ). Lo stesso matematico bresciano traduce in latino alcuni scritti di Archimede pubblicandoli a Venezia nel 1565 . Per quanto riguarda la traduzione tartaleana dell'opera archimedea , è interessante osservare che egli ebbe tra i suoi protettori a Venezia , dal 1539 al 1546 , l'ambasciatore imperiale spagnolo presso la Repubblica veneta Diego Hurtado de Mendoza . Il Mendoza , bibliofilo e umanista , compare come interlocutore di Tartaglia nell'opera del bresciano Quesiti et inventioni diverse , quasi a sottolineare l'importanza del rapporto tra i due personaggi e gli interessi scientifici dello spagnolo.
Lo stesso Mendoza ebbe modo di consultare nella biblioteca Marciana di Venezia una copia manoscritta delle opere di Jacopo lasciatavi dal cardinale Bessarione nel XV secolo , e ne fece fare una trascrizione ancora oggi conservata a Madrid (14) . Benché taluni percorsi delle opere di Jacopo siano , per molti aspetti ancora inesplorati , il contributo delle sue traduzioni archimedee è riscontrabile anche nell'ambito delle università del Cinquecento . I nuovi testi che gli umanisti tradussero e commentarono entrarono a far parte così del circuito dell'insegnamento universitario e giocarono un ruolo non secondario nell'acceso dibattito che allora si svolse tra filosofi aristotelici e neoplatonici sulla natura della conoscenza matematica . Si discuteva allora sul grado di certezza della matematica sia come linguaggio che come strumento di conoscenza dell'universo fisico . Si scandagliavano le caratteristiche logiche della dimostrazione matematica , interrogandosi su questioni ontologiche relative ai fondamenti degli enti matematici . A questa disputa , sviluppatasi nella seconda metà del Cinquecento e denominata usualmente " de certitudine mathematicarum " (15) , prese parte anche il filosofo e matematico Giovanni Battista Benedetti ( 1530 - 1590 ) . Egli , già allievo del Tartaglia , sulla scorta delle conoscenze archimedee apprese dal maestro , prospetta nella sua
opera Diversarum speculationum mathematicarum et physicarum liber , del 1585 , una interessante ipotesi di matematizzazione della scienza . In particolare egli propone di sostituire alle opposizioni qualitative di Aristotele la scala quantitativa di Archimede (16) . Ma occorrerà attendere l'esperienza didattica
di Cristoforo Clavio perché i testi di Archimede vengono inseriti in un curriculum di studi , quello del Collegio gesuitico . Tale istituzione utilizzò largamente l'esperienza del precedente contubernium umanistico riprendendo per taluni aspetti le caratteristiche educative salienti delle scuole dell'Umanesimo . Il Clavio , docente di scienze matematiche nel Collegio romano , fece tesoro della propria esperienza di insegnamento per collaborare alla stesura dei programmi di studio dei collegi gesuitici . Lo stesso Clavio , dovendo
elaborare un programma di massima per l'insegnamento della matematica nei collegi retti dal suo ordine , compose un Ordo servandus in addiscendis disciplinis mathematicis (17) . Nel suo programma , oltre ai trattati euclidei e a interessanti riferimenti all'uso degli strumenti scientifici in campo astronomico , compare il chiaro riferimento ai testi di Archimede da Clavio citati con l'incipit latino dell'edizione a stampa : " Opera archimedis nonnulla " (18) .
Così le opere di Jacopo assunsero definitivamente la veste di testo scolastico , utilizzabile da docenti e discenti , funzione che il successore di Vittorino da Feltre aveva originariamente tenuto ben presente nel comporre le proprie traduzioni archimedee .
Maria Paola Negri
Università Cattolica - Brescia
" NUOVA SECONDARIA " , n. 5 ,pp. 76-79 , del 15 gennaio 1997
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1. AA.VV , Archimede,mito , tradizione e scienza , Atti del Convegno Internazionale , Firenze 1992 , pp. 165-197 .
2. C. Vasoli , Vittorino e la formazione umanistica , in N. Giannetto ( a cura di ) , Vittorino da Feltre e la sua scuola, Firenze 1981 , p. 18 .
3. H. Freudenthal , Ripensando l'educazione matematica , a cura di C.F. Manara , La Scuola , Brescia 1994 , pp. 5-16 ; C.F. Manara , M. Marchi , L'insegnamento della matematica , La Scuola , Brescia 1993 , pp. 139-158 .
4. Cfr. al riguardo Jacobus cremonensis , in M. Clagett , Archimedes in the Middle Ages , University of Wisconsin , Madison 1964 , pp. 321-342 non trad. in ital. ; e anche Jacopo da Cremona in P. Pizzamiglio , Le traduzioni matematiche gerardiane e la tradizione matematica cremonese , in P. Pizzamiglio ( a cura di ) , Gerardo da Cremona , " Annali della Biblioteca statale e Libreria civica di Cremona " , XLI 1990 , Cremona 1992 , pp. 108-110 .
5. G. Beaujouan , L'enseignement de l'arithmetique elementaire à L'Université de Paris aux XIII et XIV siecles , ( Barcelona 1954 , p. 124 ). Cfr M.P. Negri , Gerardo da Cremona e il rinnovamento dei modelli educativi del XII secolo , in P. Pizzamiglio ( a cura di ) , Gerardo da Cremona , Cremona 1991 , pp. 21-43; M.P. Negri , " Gerardo da Cremona : insegnamento e ricerca nelle scienze matematiche del XII secolo " , in Nuova Secondaria , n.10 , Brescia 1994 , pp. 74-77. E. Gamba, V. Montebelli , La matematica abachistica tra ricupero della tradizione e rinnovamento scientifico , in Atti del Convegno Internazionale
di studio " G.B. Benedetti e il suo tempo " , Venezia 1987 , pp. 169-202 .
6. F. Castilionensis , Vita Victorini feltrensis , traduzione italiana di E. Garin , in Il pensiero pedagogico dell'Umanesimo , Firenze 1958 , p. 504 .
7. Ibidem , p. 505 .
8. Il codice A tradotto da Jacopo è un manoscritto bizantino del IX secolo composto per ordine dell'imperatorre Leone di Tessalonica detto Iatrosofista . Contiene tutte le opere di Archimede ad eccezione di : I galleggianti , Sul metodo , Stomakion , Il problema bovino . J. L. Heiberg , Archimedis opera omnia , Leipsiae 1913. Le traduzioni archimedee a tutt'oggi attribuite a Jacopo sono precisamente : De sphaere et cylindro libri II ; Circuli dimensio ; De conoidalibus et spheroidibus figuris ; De lineis spiralibus ; De aequiponderantibus o planorum equaeponderantium inventa vel centra gravitatis planorum libri II ; De arenae numero ; De quadratura parabolae ; di Eutocio : Commentarius in primum et secundum Archimedis de sphaera et cylindro, Commentarius in circuki dimensio , Commentarius in primum et secundum aequiponderantium .
9. MS London , BM Harl : 4196. 2v. L'esistenza del manoscritto fu segnalata da P.O. Kristeller a M. Clagett , Cfr. M. Clagett , Archimedes .., cit. , p. 325 .
10. M. Clagett , Archimedes ... , cit. , pp. 338-339 .
11. P.O. Kristeller , The Humanist Bartolomeo Facio , in From the Renaissance to the Counter Reformation , New York 1965 , pp. 56-74 .
12. Nuremberg-Stadtbibl. Cent. V.15. A. C. Klebs , Incunabola scientifica et medica , in "
Osiris " , IV 1937 .
13. Archimedes , Opera quae quidem extant omnia , a cura di Th. Gechauff Venatorius , Basilea 1544 , pp. 4-5 . E' opportuno rammentare , in questi momenti aurorali dell'editoria europea , la fattiva collaborazione e la specifica competenza del curatore e dell'editore delle prime opere scientifiche a stampa . Cfr. anche F. Arisi, Cremona literata , II , Parma 1706 , p. 185 .

14. Madrid Biblioteca dell'Escorial f. III. 9.
15. A. De Pace , Le matematiche e il mondo : ricerche su un dibattito in Italia nella seconda metà del Cinquecento , Milano 1993 . E. Gamba , V. Montebelli , Le scienze ad Urbino nel tardo Rinascimento , Urbino 1988 , pp. 60-69 .
16. G. Vailati , Le speculazioni di G.B. Benedetti sul moto dei gravi , Torino 1888 .
17. La " Ratio studiorum ", a cura dei Gesuiti di " La civiltà Cattolica " , Roma/Milano 1989 .
18. A.G: Garibaldi , " Il contributo dei Gesuiti alla didattica e alla critica dei principi della matematica " , in Il pensiero matematico nella ricerca storica italiana , Ancona 1992 , pp. 194-208 . Catalogo della Biblioteca di Scienze C. Viganò , Milano 1994 . 

LA SCIENZA GRECA NEL PERIODO ELLENISTICO

Il termine "ellenismo" fu coniato nell’Ottocento dallo storico tedesco Johann Gustav Droysen, per indicare quel periodo storico che va dalla morte di Alessandro Magno alla conquista romana dell’Egitto. La matrice di fondo del periodo, secondo Droysen, è l’integrarsi della cultura greca con quella orientale. In buona parte è una visione storica corretta, intesa tuttavia non come un mescolarsi di due culture diverse, ma soprattutto come diffusione della civiltà greca ben oltre i confini della Grecia e delle sue colonie, in particolare nelle aree orientali.

Il grande protagonista della diffusione della cultura greca fu Alessandro Magno. 

Figlio di Filippo il Macedone, alla morte di questi avvenuta nel 336 a.C., Alessandro iniziò una strepitosa campagna di conquista che lo portò, nel giro di pochi anni, a costituire un impero immenso, che comprendeva, oltre la penisola greca, l’Egitto, la fascia mediorientale della Palestina e della Fenicia, l’attuale Turchia, la Tracia (attuale Romania) e tutto il vastissimo impero persiano che andava dall’Armenia fino ai confini con l’India. Si apprestava a completare questo vasto impero con la conquista della penisola araba, ma improvvisamente morì, a soli 33 anni, nel 323 a.C. L’unitarietà del suo impero non sopravvisse alla sua morte, e si frantumò in tanti regni (definiti, appunto, ellenistici) poi progressivamente assorbiti dall’impero romano. Roma completò queste annessioni con la conquista dell’Egitto, avvenuta nel 31 a.C., e da questo momento non si parla più di arte e di cultura ellenistica ma di arte e di cultura romana, anche se, come in seguito vedremo, di fatto non vi fu alcuna soluzione di continuità: in pratica, soprattutto nel campo delle arti figurative, non vi fu alcun cambiamento stilistico, ma solo un cambio di nome, dato che, dal 31 a.C. in poi, tutto il mondo antico è ormai sotto la dominazione politica di Roma.

Secondo alcuni l'Ellenismo può estendersi fino ai primi secoli dopo Cristo, addirittura fino al 500 d. C. includendo in questo periodo anche la sua decadenza e la distruzione della biblioteca di Alessandria.

Nel periodo Ellenistico si formò una società multirazziale e cosmopolita di cui il greco (κοινή) fu la lingua comune suddivisa in potenti monarchie: le monarchie di Macedonia, d’Egitto, di Siria di Pergamo e della Battriana.

Grazie al sostegno dei sovrani di questi regni, in particolare dei Tolomei in Egitto, a cui si deve l’istituzione del Museo di Alessandria e le biblioteche che attirarono le persone più valide, ci fu una straordinaria fioritura della scienza ellenistica. Questa dottrina subì una scissione dal progetto politico e dai problemi sociali: nacque la figura dello scienziato di professione, dedito allo studio e alla ricerca. Nel Museo gli scienziati venivano ospitati e stipendiati senza dover neppure insegnare, in piena libertà di ricerca.

Lo scienziato, ivi isolato dalla politica e dalla società , perde il senso di qualunque applicazione pratica dei suoi studi a meno che non gli venga chiesto dal sovrano, deresponsabilizzandosi nei confronti degli esiti dei propri studi.

Le scienze in questo ambiente fissano i propri principi, diversificano i metodi, costruiscono i propri strumenti. In questo senso la struttura economica basata sul lavoro servile, la mancanza di un mercato di manufatti (e quindi l'uso di soli beni di consumo) e l'uso di guadagni solo per il lusso rendevano inutile l'applicazione della scienza a fini pratici e quindi la nascita della tecnologia. Allora sembra sia stato l'esigenza di migliorare l'efficienza bellica uno dei grandi incentivi all'incremento delle scienze e delle tecniche.
Non fu un caso, dunque, che i principali protagonisti della vita scientifica in epoca ellenistica non vennero dalla Grecia continentale, ma vissero principalmente in altre realtà. Come Euclide, ad esempio, che operò ad Alessandria, e come Archimede, che nacque a Siracusa, ma studiò a lungo ad Alessandria. Questa città divenne indubbiamente il vero centro scientifico del mondo ellenistico.


La filosofia continua ad essere radicata in Atene e si separa anche geograficamente dalla scienza, che assume la sede nel Museo e nella Biblioteca di Alessandria d'Egitto. Si possono citare come figure importanti, oltre ad Archimede ed Euclide, Eudosso di Cnido e Apollonio di Perge. Diofanto di Alessandria fu l'ultimo dei grandi matematici greco-ellenistici, ed è noto come il padre dell’algebra. Dopo di lui per circa un millennio e fino a Leonardo Fibonacci lo studio della matematica, almeno in Europa, attraversò un periodo di grave decadenza. Diofanto scrisse un trattato sui numeri poligonali e sulle frazioni, ma la sua opera principale è l'Arithmetica, trattato in tredici volumi dei quali soltanto sei sono giunti fino a noi. Egli scrisse un trattato sulle equazioni lineari indeterminate e perciò sono chiamate “equazioni diofantee”.

L'Archimede di Piero: manoscritto studiato e conservato da Piero della Francesca e poi nella città di Borgo Sansepolcro negli anni a cavallo fra XV e XVI secolo agli albori della rinascita della Scienza Occidentale. Recentemente ritrovato presso la Biblioteca Riccardiana di Firenze.

Il discredito che la cultura antica riservava a chi si dedicava alla costruzione di macchine è evidente nel giudizio di Plutarco sulle invenzioni di Archimede: “Archimede possedette tuttavia uno spirito così elevato, un’anima così profonda e un patrimonio così grande di cognizioni scientifiche che non volle lasciare per iscritto nulla su quelle cose, cui pure doveva dare un nome e la fama di una facoltà comprensiva non umana, ma pressoché divina. Persuaso che l’attività di uno che costruisce delle macchine, come di qualsiasi altra arte che si rivolge ad una utilità immediata, è ignobile e grossolana, rivolse le sue cure più ambiziose soltanto a studi la cui bellezza ed astrazione non sono contaminate da esigenze di ordine materiale.”

Tratto dal racconto dell’assedio di Siracusa nella Vita di Marcello.

Vi è tuttavia, una differenza fondamentale rispetto alla scienza moderna: mentre dal punto di vista teoretico è assimilabile alla scienza moderna invece dal punto di vista metodologico è priva del momento sperimentale. Anche per l’enorme prestigio culturale di Platone ed Aristotele, la logica e la deduzione formale furono ritenute più importanti dell’esperienza e dell’induzione.

Questa impostazione condusse a risultati straordinari nella matematica, geometria ed astronomia ma fu da ostacolo per lo sviluppo ad esempio della fisica, pur con la rilevante eccezione di Archimede. La comparsa e lo sviluppo di un metodo scientifico, più simile a quello considerato tale ai nostri giorni, potrebbe quindi essere considerato il merito principale dell'epoca ellenistica.

Sui miglioramenti tecnici e scientifici dell'età ellenistica influirono quindi diversi fattori. Uno di questi fu l'assorbimento nel modo greco di antichi saperi egiziani, babilonesi e persiani. La scoperta di una tale sapienza andrebbe retrodatata, ma il vero approfondimento avvenne in epoca ellenistica, quando apparvero uomini in grado non solo di comprendere il valore e l'importanza della matematica babilonese o della medicina egiziana, ma di sviluppare tutte le conoscenze raggiunte nel mondo unificato ed implementarle.

In Socrate ed Aristotele scienza e virtù erano inscindibili e senza l'una non era possibile l'altra. Nell'ellenismo si ha il compimento di questo iter del pensiero: la filosofia si interessa della virtù e si oppone alla scienza che concepisce come uno strumento. La filosofia diventa perciò ricerca della felicità individuale contro i turbamenti esterni.

BIBLIOGRAFIA

“Mondo letterario greco” vol 3*

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L'anamorfosi e il mistero degli Ambasciatori

In questi giorni, mi succede di discutere con studenti e colleghi di prospettiva e matematica, grazie alla mostra "Baskara" ospite presso l'Istituto Tecnico "Franchetti Salviani".


Fra le altre cose c'è un exibit che illustra lì'origine dell'effetto ottico conosciuto come anamorfosi e un'immagine riproduce il particolare del celebre teschio curiosamente riprodotto ai piedi dei personaggi ritratti nel quadro Gli ambasciatori (1533) di Hans Holbein il Giovane.

Ho cercato in rete di saperne di più, perché davvero non riuscivo a capire che c'entrasse un teschio in questo dipinto. Ho trovato tutta una spiegazione in un vecchio articolo (del 2005) del Corriere della Sera, firmato da Pierluigi Panza. Citando la tesi dello  storico John North, nel libro Il segreto degli Ambasciatori (Rizzoli, pagine 496), il messaggio nascosto negli Ambasciatori sarebbe religioso: la tela è una difesa del cristianesimo e della divina armonia universale e raffigura una sorta di istantanea della liturgia del Venerdì Santo nella Londra del 1533. Ovvero del rituale cattolico della crocefissione e morte di Gesù Cristo a un millennio e mezzo esatto dalla sua morte. Il messaggio è cifrato e non esplicito perché, proprio in quella primavera, re Enrico VIII - che aveva ottenuto il divorzio per proclama dell' arcivescovo di Canterbury Thomas Cranmer dalla cattolica Caterina d' Aragona - si apprestava a incoronare come regina, il primo giugno, la seducente Anna Bolena, dalla quale aspettava un figlio. Atto, questo, che gli costò la scomunica papale, alla quale seguirono la rottura con la Chiesa cattolica e lo sviluppo del protestantesimo anglicano. 


Ecco il link all'articolo completo: http://archiviostorico.corriere.it/2005/ottobre/04/cattolico_mistero_degli_Ambasciatori_co_9_051004026.shtml


Mentre altre informazioni sull'Anamorfismo sono rintracciabili su Wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Anamorfismo

La matematica nel “doppio ritratto” di Luca Pacioli

La matematica nel “doppio ritratto” di Luca Pacioli

Diamo un'occhiata agli oggetti sul tavolo.

1) Il volume chiuso: la Summa.

Si tratta di un dodecaedro in legno appoggiato su un ponderoso volume con la scritta L[IBER] R[EVERENDI] LUC[AE] BUR[GENSIS] facilmente identificabile con la Summa de aritmetica geometria pubblicata a Venezia nel 1494.

I volumi che uscivano dalle stamperie non necessariamente avevano una legatura, di solito le copie destinate ad un uso più diretto, come ad esempio quelle per l'autore, restavano rilegati soltanto con una semplice carta pergamena, mentre le copie per i personaggi più importanti venivano confezionate in modo ben più lussuoso. Quindi la ricca legatura indica quasi certamente che non si tratta della copia del Pacioli, ma della copia donata al duca, o al personaggio ritratto. I volumi che uscivano dalle stamperie non avevano legatura, le legature quindi potevano essere le più semplici in carta pergamena o ricchissime come vediamo qui.

La Summa porta la dedica a Guidubaldo da Montefeltro e questo è un buon argomento a favore dell’identificazione del personaggio col duca urbinate. Sempre nella Summa troviamo una notizia che riguarda Guidubaldo, cioè che Pacioli nel 1489 aveva donato al duca modelli dei cinque solidi regolari: quindi la Summa e il dodecaedro stanno lì a indicare la comunanza culturale tra il duca e il frate di Sansepolcro. In realtà nello stesso passo della Summa, Pacioli dice di aver donato solidi regolari e semiregolari a Pietro de’ Valentari da Genova vescovo di Carpentras, lasciando aperta la questione.

2) Il volume aperto: gli Elementi.

Il libro aperto è una copia della prima edizione degli Elementi di Euclide, Venezia 1482, l’unica edizione a stampa disponibile all’epoca.

Diversamente dall’altro volume non presenta una legatura particolare perché, evidentemente si tratta della copia del Pacioli. Lo si vede, e il pittore lo vuole far capire, perché riproduce anche le notazioni a margine che non ci sono nelle copie standard. Va notato che nel 1509 Pacioli pubblica a Venezia una sua edizione degli Elementi, nel 1495 (anno di presunta realizzazione del ritratto) ci stava lavorando sopra.

Il testo è aperto a una pagina precisa e facilmente individuabile, quella con la proposizione VIII del libro XIII: il quadrato del lato del triangolo equilatero inscritto in una circonferenza è tre volte il quadrato del semidiametro della circonferenza. Sotto inizia la proposizione IX: la sezione aurea del semidiametro di una circonferenza è il lato del decagono regolare inscritto in essa. L’indice del Pacioli è puntato sull’inizio della proposizione VIII. Questa è la proposizione in causa.

Considerando l’estrema e voluta cura con cui il dipinto è eseguito, si nota che la copia degli Elementi è raffigurata aperta a metà circa, mentre nel libro vero la proposizione VIII, libro XIII, sta a soli 20 fogli dalla fine: sembra insomma che nel volume del Pacioli ci fosse un altro testo rilegato assieme agli Elementi.

3) La lavagnetta.

La presenza della lavagnetta, assieme al gesso e al cancellino, indica che siamo in piena lezione di matematica. Nel bordo della lavagnetta è scritto EUCLIDES, sulla lavagnetta è tracciata una figura geometrica, dei segmenti, dei numeri.

Partiamo dalla figura geometrica. Si riferisce chiaramente alla figura che accompagna la proposizione VIII, ci sono i dati essenziali dell’enunciato cioè la circonferenza, il semidiametro, il triangolo equilatero inscritto; la costruzione per la dimostrazione sparisce, ma c’è in più una linea che parte dal vertice superiore del triangolo e rimane come sospesa. La domanda è se la figura tracciata da Pacioli è completa, o se Pacioli l’ha lasciata incompleta volutamente, sfidando chi guarda a capire.

Sembra che la figura geometrica tracciata sia incompleta perché Pacioli è colto nel mezzo, e non alla fine, di una enunciazione.

Se questa interpretazione è corretta, il quadro diventa una sfida matematica, ovvero, nel pieno spirito del Pacioli, propone un problema da risolvere, lancia una sfida.

Con una mano Pacioli indica una proposizione degli Elementi mettendoci in condizione di identificarla, mentre con la bacchetta indica il segmento tracciato solo in parte, manca solo la sua voce per dire: e adesso come andiamo avanti, come mettiamo insieme queste cose, che c’entrano?

Questo è un significato del quadro che ha le funzioni di ritrarre personaggi illustri, di squadernare un mondo matematico, di coinvolgere in questo mondo matematico, proponendo qualcosa d’intrigante, di enigmistico si potrebbe dire.

Proviamo a risolvere il quesito proposto. Se la linea è incompleta dove va a finire? Ritengo che debba terminare sulla circonferenza. Certamente la linea incompleta non finisce nella parte di circonferenza sotto il diametro. L'ambiguità dovuta al fatto che la circonferenza è vista di scorcio, lascia aperte due possibilità: il punto della circonferenza dove termina il segmento incompleto è il punto X dove il semidiametro DX perpendicolare al diametro AE, interseca la circonferenza, oppure termina su un punto della circonferenza più in alto.

4) Prima ipotesi.

Se cade dove cade il diametro, allora la linea, una volta completata, è il lato del quadrato inscritto nella circonferenza. Questa mi pare un’ipotesi dotata di buone ragioni. La prima ragione è la semplicità. Come dice la proposizione VIII, libro XIII il quadrato del lato del triangolo è tre volte il quadrato del semidiametro, è una relazione tra il semidiametro e il lato del triangolo inscritto. Immediato sarebbe pensare a una relazione tra il semidiametro e il lato del quadrato inscritto. Da cui si ricava facilmente la relazione tra i lati del triangolo e del quadrato inscritti nella medesima circonferenza. Se il quadrato del lato del quadrato è uguale al doppio del quadrato del semidiametro, allora vale la relazione che il quadrato del lato del quadrato è i 2/3 del quadrato del lato del triangolo equilatero.

L’ipotesi trova a mio parere una conferma indiretta dal calcolo numerico sempre sulla lavagna in basso a destra: 478 + 935 + 621 = 2034.

Conoscendo Pacioli è difficile che i numeri siano stati presi a caso. A un primo esame non si tratta di numeri particolari, ad esempio non sono numeri perfetti, numeri amici, numeri di Fibonacci, ecc. E nemmeno di un quadrato magico. L’unica diciamo armonia che ho trovato è la seguente: se 621 è il perimetro di un triangolo equilatero di lato 207, allora 478 è il perimetro del quadrato costruito sul raggio della circonferenza. Ovvero nella VIII, XIII Euclide geometra mette in relazione le superfici, mentre Pacioli che è anche aritmetico e algebrista mette in relazione numerica casi specifici di perimetri secondo l’uso dell’ambiente della matematica pratica, ovvero matematica abachistica, di trattare sempre specifici casi numerici. Anche i tre segmenti disegnati nell’angolo in alto a sinistra della lavagna acquistano un senso, rappresenterebbero le tre grandezze in gioco: il semidiametro, il lato del quadrato e il lato del triangolo equilatero.

Un ultimo indizio a favore di questa ipotesi è che il rombicubottaedro appeso è formato da quadrati e da triangoli equilateri.

5) Seconda ipotesi.

L’altra ipotesi è che il segmento incompleto cada prima del semidiametro. A mio parere le possibilità sono due: o il segmento è il lato di un pentagono regolare inscritto, o cade in un punto speciale che dà luogo a un rapporto aureo tra i segmenti.

In ordine di plausibilità dopo l’ipotesi del quadrato a mio parere viene quella del pentagono, cioè della ricerca delle stesse relazioni di cui sopra, ma tra il triangolo e il pentagono inscritti nella stessa circonferenza. Il rapporto tra i quadrati dei rispettivi lati è (5 - √5)/6 che non è poi più complicato del rapporto della sezione aurea che è (√5 – 1)/2. Teniamo conto che l’altro poliedro è il dodecaedro formato da 12 pentagoni e che la successiva proposizione IX riguarda proprio la costruzione del pentagono regolare.

6) Altre ipotesi.

Com'era consuetudine nei testi dell'epoca, il cerchio non indica una figura piana ma una figura solida cioè una sfera; il punto di caduta è individuato dividendo il diametro della sfera in tre parti uguali AH, HK, KE e mandando da H la perpendicolare ad AE che intercetta un punto X sulla sfera. Il segmento AX così ottenuto ha la proprietà di essere lo spigolo del cubo inscritto nella sfera, e la sezione aurea di questo spigolo è lo spigolo del dodecaedro inscritto nella medesima sfera. È la proposizione XVII del libro XIII degli Elementi.

Un’ulteriore ipotesi, senz'altro più remota perché poco coerente con il contesto del quadro, è sempre sulla sezione aurea.

Il segmento incompleto, e incompreso, cade in un punto della circonferenza individuato mediante la costruzione tipica della sezione aurea. Ovvero AG = AE e tra loro perpendicolari, si congiunge poi G col centro della circonferenza D individuando X sulla circonferenza. Si unisce poi X con E. Vale un rapporto aureo tra i segmenti così ottenuti:

(AX + XE) : XE = XE : AX.

Questa è una delle proprietà della sezione aurea che Pacioli elenca nella Divina proportione, tuttavia mi pare poco per credere che sia questo il caso in questione.

Infine potrebbe essere che Pacioli ci sfida a trovare un’altra dimostrazione della proposizione VIII libro XIII, diversa dalla dimostrazione euclidea. Dato il personaggio non è da escludere al cento per cento.

LEONARDO E I PROBLEMI CLASSICI DELLA GEOMETRIA

Propongo la mia traduzione con adattamento di un interessantissimo articolo di Sylvie Duvernoy che ho reperito in lingua inglese, con il titolo “Leonardo and Theoretical Mathematics”. La resa linguistica è senz'altro da migliorare, ma il contenuto mi sembra chiaro.
Giuseppe


LEONARDO E I PROBLEMI CLASSICI DELLA GEOMETRIA

§ 1 Introduzione

L'incontro con Pacioli segna una svolta nella vita di Leonardo per quanto riguarda lo studio della matematica. Guidato dal suo maestro e amico, ha iniziato uno studio sistematico di matematica teorica, attraverso le pubblicazioni più recenti e contemporanea fino ad arrivare torna ai testi classici della disciplina. E 'chiaro che, come ogni scienziato del suo tempo, ha accuratamente studiato gli Elementi di Euclide e si avvicina ai problemi della matematica greca. Abbiamo a nostra disposizione un buon numero di trattati di architettura e matematica prodotti nel Rinascimento, ma le ricerche preliminari necessarie per la compilazione di quei libri sono andate tutte perdute. Leonardo, invece, ha lasciato ai posteri una quantità enorme di documenti manoscritti che possono essere considerati come note preliminari per i testi mai pubblicati. Le sue note, anche se confuse e un po ' disordinate, sono molto preziose perché testimoniano il lavoro in corso e ci permettono di guardare direttamente nella mente dello scienziato. Mentre nei trattati definiti e pubblicati possiamo trovare solo le soluzioni di problemi e le regole scritte in forma definita, nei manoscritti di Leonardo si trovano numerose domande che l'autore si pone per giungere ad una conclusione, a volte, dandoci preziose informazioni per quanto riguarda il processo di ricerca matematica nel periodo rinascimentale, che coprono un ampia gamma di approcci, dalla grafica e l'aritmetica, di geometria e analisi.

§ 2 La duplicazione del cubo

La prima cosa che colpisce è come almeno due delle tre problemi della geometria classica erano frequentemente presenti nella mente degli scienziati del Rinascimento: la duplicazione del cubo e la quadratura del cerchio.

Leonardo dedicò molti sforzi per cercare di risolvere il problema della duplicazione del cubo. Questo problema, secondo la leggenda legata ad esso, è l'esempio più antico di una rapporto tra architettura e matematica. La gente di Delos dovette affrontare un enigma architettonico riguardante un monumento religioso. L'oracolo aveva chiesto di costruire un altare ad Apollo due volte più grande di quello precedente, che era di forma cubica. Ma quale dovrebbe essere la dimensione del lato del cubo nuovo al fine di ottenere un cubo di volume doppio rispetto a quello originale? Dopo un primo, sbagliato, tentativo che consiste nel raddoppiare il lato del cubo, il problema divenne da architettonico a matematico, dato che non avendo a disposizione il calcolo algebrico di quantità irrazionali, la questione restava aperta. La predilezione di Leonardo per questa specifico problema deriva sicuramente dal suo evidente interesse per la geometria tridimensionale e stereometria. I suoi molti sforzi per risolvere il problema passano attraverso ingenui tentativi empirici, fino allo studio di soluzioni classiche, seguendo i diversi tipi di metodologie di ricerca scientifica.

§ 2.1 Un approccio grafico: Codice Arundel, foglio 283v.

Leonardo si chiede se ogni tipo di semplice estensione da due a geometria tridimensionale esiste (fig. 1). Può il teorema di Platone sulla duplicazione del quadrato essere esteso alla duplicazione di il cubo? È il volume di un cubo costruito da un doppio quadrato doppio del volume di una singola unità cubo?

Se la diagonale di un quadrato con un lato di 1 è la visualizzazione grafica di la quantità incommensurabile della radice quadrata di due, è la diagonale di un cubo con un lato di 1 la risposta grafica al numero irrazionale pari alla radice cubica di 2?

Le risposte è negativa. La diagonale del cubo è pari alla radice quadrata di 3, e non la radice cubica di 2, che è un numero inferiore alla radice quadrata di 2.

§ 2.2 Un approccio aritmetico: Codice Arundel, foglio 283v.

A seguito di un'altra idea, Leonardo poi cerca di estendere il teorema di Pitagora su triangoli rettangoli dai quadrati ai cubi. Se la somma dei quadrati dei lati di questi triangoli è uguale al quadrato dell'ipotenusa, si può applicare lo stesso principio a cubi? Prendendo l'esempio più semplice, il triangolo 3-4-5 (il cosiddetto "triangolo egiziano"), il calcolo appare subito deludente.

Più in generale, c'è un numero di cubi che possono essere divisi in la somma di due minori numeri cubi? Sarebbero questi tre numeri portano alla scoperta di una particolare famiglia di triangoli? La risposta è no. L'equazione aⁿ + bⁿ = cⁿ non ha una soluzione in numeri interi per n > 2. Ma questo teorema non era ancora stata dimostrato: occorre attendere il 1753 quando Leonhard Eulero ha dimostrato che l'equazione a³ + b³ = c³ non ha soluzione. E la dimostrazione finale del cosiddetto "teorema di Fermat terzo", che è che l'equazione generale aⁿ + bⁿ = cⁿ non ha una soluzione per n > 2, è stato data da Andrew Weil nel 1993.

§ 2.3 Un approccio stereometrico: Codice Arundel fogli 223v e 223r.

Altre pagine testimoniano uno sforzo strenuo per risolvere il problema di Delo secondo un approccio stereometrico. Invece di raddoppiare il cubo di lato unitario, Leonardo inverte il problema e cerca di dividere un cubo in due più piccoli e uguali. Si comincia con un cubo che si divide in 27 piccole unità - che è facile perché è stato "fatto da la radice cubica di 27", pari a 3 -, ma 27 è un numero dispari le cui quote non possono essere riorganizzate in due piccoli uguali cubi. Così, Leonardo prende un altro cubo composto da 8 unità piccoli cubi e cerca di capire come organizzare quattro di queste unità in una forma cubica. Nel frattempo, cerca di scoprire se esiste una relazione direttamente proporzionale tra la superficie e il volume di un solido.

È la superficie di un solido proporzionale al suo volume? Questa eventualità potrebbe offrire una comoda soluzione per riportare il problema dalla geometria a tre dimensioni a quella bidimensionale, ma capisce subito che l'idea è sbagliata. La conclusione negativa si accende sul retro dello stesso foglio, che contiene l'affermazione "... in modo da non utilizzare questa scienza cubi in base alla loro superficie, ma secondo i loro corpi, perché una stessa quantità è diverse superfici di valori infiniti ... superfici pari non sempre contengono corpi uguali ... ". Quindi, tornando al cubo di 8 unità, Leonardo si chiede: "se ho un cubo fatto di otto cubi, l'ho fatto da la radice cubica di otto ... se la radice cubica di 27 è 3, che è la radice di 8? ".

§ 2.4 Un altro approccio aritmetico: Codice Atlantico, foglio 161r.

Trovare un valore approssimato per la radice cubica di 8, non avrebbe risolto il problema della duplicazione del cubo in ogni caso, né il corollario inverso, la sua divisione in due. Solo la determinazione di un valore approssimato della radice cubica di 2 avrebbe dato una soluzione a questo problema di aritmetica (fig. 3).

Occorre notare che nei libri pubblicati matematica dei tempi di Leonardo (ad esempio la Summa de Aritmetica geometria proportioni e proportionalità di Luca Pacioli, ecc ...), il valore di π era stato a lungo considerato circa uguale a 22 / 7, e la radice quadrata di 2 quasi equivalente a 7 / 5 (o 14/10), mentre le radici cubiche, che non sono uguali a un numero tondo, come ad esempio la radice cubica di 27 o 64, non sono approssimata da una frazione, ma rimangono come "radice cubica di x" e la gli autori non danno i valori stimati per loro.

Leonardo ha raggiunto una approssimazione accettabile per la radice cubica di 2: successivi tentativi di calcolo lo portano a concludere che un cubo di un 5 unità di lato ha volume circa doppio rispetto a quello di un cubo di un 4 unità laterali. Tutto sommato 125/64 è accettabile come una buona approssimazione di 128/64 = 2.

Quindi 5/4 può quindi essere considerata una buona approssimazione della radice cubica di 2, che può di conseguenza essere adottato da quel momento in poi ai fini pratici come approssimazione della radice cubica di 2 (fig. 4).

§ 2.5 Un classico approccio geometrico: Codice Forster I, foglio 32.

Oltre che ricercare delle soluzioni per la duplicazione del cubo, Leonardo studiò anche le soluzioni classiche dei matematici greci, probabilmente sotto l'egida di Luca Pacioli, che era uno studioso di Euclide. La prova di questo può essere visto nella interpretazione accuratamente disegnato di Apollonio metodo per il problema di Delo (fig. 5).

Ippocrate di Chio aveva ridotto il problema della duplicazione del cubo a quello di trovare due medie proporzionali tra due linee che rappresentano due grandezze aritmetiche. Le tre risposte più famose sono il lavoro di tre matematici dell'era platonica: Archita, Eudosso e Menecmo. Queste soluzioni sono state seguite da molti altri, tra cui uno attribuito a Apollonio che è particolarmente semplice sia concettualmente che graficamente. Il metodo di Apollonio non è tra le soluzioni classiche che cita Vitruvio nel suo trattato, e che Barbaro ha illustrare nel suo commento di Vitruvio, aggiungendo la proposta di Nicomede. Questo metodo è derivato da Euclide, e più precisamente dal Libro II, ultima proposizione: da un rettangolo dato, trovare un quadrato equivalente, o in senso opposto: da un quadrato dato, l'equivalente rettangolo di avere un data base (fig. 6).

La dimostrazione è la seguente: se le due prime linee dritte (A e B) sono assemblati per formare due lati adiacenti di un rettangolo, un righello deve essere posizionato sul lato opposto vertice di quel parallelogramma, e girando attorno al perno così formato fino a che taglia in due linee che si estendono fuori dai lati iniziali del rettangolo in due punti equidistanti dal centro del rettangolo. L'equidistanza è verificata - e dimostrata – dal disegno dell'arco tracciato con un compasso il cui centro è posto al centro del rettangolo: il punto di intersezione delle sue diagonali. I valori dei due intervalli così ottenuto (X e Y) tra i lati del rettangolo ed i punti di intersezione saranno i due ricercati elementi proporzionali (fig. 7).

In accordo con la tradizione dei disegni matematici greci, il diagramma disegnato da Apollonio per illustrare la sua dimostrazione è estremamente schematica e bidimensionale: si rappresenta la proiezione ortogonale parziale di volumi su un piano parallelo ad uno delle loro superfici. Può essere considerato sia una vista dall'alto - ichnographia - o una vista frontale - orthographia. Il rettangolo rappresentato nello schema è la superficie di un parallelepipedo la cui profondità è uguale alla sua larghezza: un prisma (non rappresentabile sulla figura a causa della sua perpendicolarità al piano di disegno) a base quadrata e data altezza. La dimostrazione di Apollonio può essere compresa con l'aiuto della figura solo se il lettore è in grado di interpretare correttamente, sostituendo le informazioni mancanti per quanto riguarda la terza dimensione con un procedimento mentale che completa il messaggio. Leonardo, durante gli studi e schizzi, ha aggiunto la terza dimensione, trasformando la figura in una prospettiva (assonometrica?) di disegno, al fine di facilitare la comprensione (vedi fig. 5).

Il disegno di Leonardo mostrato nel Codice Atlantico fol. 588 r (fig. 8) illustra il caso in cui il cilindro è un cubo doppio, e fa una scoperta, quando nota (probabilmente per caso) che BF è uguale a BE. Ciò implica che la costruzione geometrica può essere ridotta a una manipolazione molto semplice e veloce del righello (con i più supporto leggero di una compasso), e rappresenta un passo importante verso la semplificazione delle soluzioni di questo problema, che ha ispirato le invenzioni più sofisticate e costruzione di pesanti strumenti di disegno meccanico fin dall'antichità. Il metodo di Leonardo permette di saltare prove meccaniche di Apollonio di bilanciare la linea sul punto A, e contemporaneamente disegnare un arco con centro in M, che Leonardo giudicata imprecisa e discutibile, con un risultato che può essere ottenuto solo attraverso il “faticoso negozio”.

La semplificazione permette di diffondere e rendere popolare.

La rappresentazione grafica di questa quantità sconosciuta e incommensurabile della radice cubica di 2 è diventata facile come – per esempio - la costruzione di un pentagono inscritto in un cerchio. Ma Leonardo ammette di non essere in grado di costruire una teoria esplicativa della sua ricerca personale, ed è per questo che possiamo supporre che egli ha raggiunto in modo del tutto empirico. La dimostrazione teorica non è specialità di Leonardo. L'indagine e la sperimentazione tendono a fermarsi quando una scoperta è stata fatta, nella speranza e la fretta di fare altro. La didascalia accanto alla figura nel Codex Atlantico riportata in fig. 8 dice: "Se tu mi dici per quale motivo il diametro della metà dei cerchio si inserisce sei volte nella sua circonferenza e perché la diagonale del quadrato non è commensurabili al suo fianco, io vi dirò perché la linea retta che va dal superiore vertice di uno dei due quadrati fino al centro del quadrato secondo ci mostra la radice cubica dei due cubi ridotta in uno solo ".

§ 3 La quadratura del cerchio

Leonardo si è anche prodigato nel tentativo di risolvere un secondo problema classico: la quadratura del cerchio. Un giorno si afferma anche di aver raggiunto una soluzione: nel Codice di Madrid II, foglio 112R leggiamo: "la notte di S. Andrea, ho finalmente trovato la quadratura del cerchio, e come la luce della candela e la notte e la carta su cui ho scritto stavano arrivando ad un fine, è stato completato, alla fine dell'ora "... ma la soluzione non c'è ....

L'approccio di Leonardo alla quadratura del cerchio è ovviamente ispirato ad Archimede, anche se non è chiaro se è per lettura diretta o solo per conoscenza di seconda mano. In ogni caso, è rimasto insoddisfatto del rapporto approssimativo tra il circonferenza e il diametro di 22 / 7. Perciò egli cerca di prendere questa approssimazione al di là del poligono a 96 lati, nel tentativo di portare la differenza di zone comprese tra cerchio e poligono ad essere il più piccolo possibile, pensando proprio al "punto matematico", che, da Euclide in poi, non ha estensione. Questa ricerca genera una quantità enorme di disegni che mostrano una varietà infinita di forme decorative (il meraviglioso Codice Atlantico, fol. 471, fig. 9). La ricerca geometrica si trasforma in un interminabile, giocoso, gioco di grafica. Leonardo voleva scrivere e pubblicare un trattato in modo da rendere pubblica la sua scoperta, e il suo titolo sarebbe stato De Ludo geometrico. Questa metodologia non porta ad una soluzione soddisfacente, o anche a qualsiasi progresso verso una risultato, ma il valore del suo impegno si trova in questo tentativo di estensione ad infinitum.

§ 4 Contributo di Leonardo alla ricerca matematica

E 'nel regno della geometria tridimensionale che Leonardo raggiunto il suo più grande risultato: la determinazione della posizione del centro di gravità di una piramide.

§ 4.1 Un approccio meccanico: codice Arundel, foglio 218 v.

Il passaggio alla geometria ridimensionale inizia con lo studio del libro di Archimede “De planorum aequilibris”. Leonardo deve essersi sentito a proprio agio con metodo sperimentale di Archimede, dove le superfici piane sono considerati un peso e sono appesi alla fine di leve e corde in ordine per determinare la posizione esatta del loro centro di gravità. Archimede si occupa di superfici, in particolare triangoli, mentre Leonardo estende l'esperimento ai solidi, e prima di tutto al tetraedro regolare. Sapendo da precedenti studi la posizione dei centri di gravità delle facce del solido, scopre che "il centro di gravità del corpo di quattro basi triangolari si trova all'incrocio dei suoi assi e sarà nel quarto parte della loro lunghezza " (fig. 10).

La generalizzazione di questa scoperta porta alla affermazione che "il centro di gravità ogni piramide - rotonda, triangolare, quadrata, o di qualsiasi numero di lati - si trova nella parte quarta del suo asse vicino alla base."

Il Codice Arundel foglio 123V vi è un ulteriore teorema in merito al tetraedro:

la piramide con base triangolare ha il centro della sua gravità naturale nel segmento che si estende dal centro della base [che è il punto medio di un faccia] a metà del lato [cioè, della faccia] di fronte alla base, ed è situato sul segmento equidistante della linea che unisce la base con il lato suddetto.

§ 5 Conclusione

Da questo breve studio delle opere di Leonardo nel campo della matematica teorica sembra che stereometria e geometria solida siano stati i settori in cui meglio si è espressa la capacità inventiva di Leonardo, e questo è probabilmente dovuto alla sua abilità nella rappresentazione tridimensionale, che gli ha permesso di ottenere una visualizzazione precisa degli oggetti dei suoi studi. Tutti i fogli dei vari codici sono pieni di schizzi prospettici che non sono disegnati in conformità alla recentemente costituita “costruzione legittima”, ma a seguito di una spontanea capacità di rappresentare che spesso genera una sorta di disegnio pre-assonometrico piuttosto che in prospettiva.
Su un piano più generale, possiamo concludere che Leonardo ha contribuito alla matematica e alla scienza nel periodo rinascimentale, dimostrando la potenza dello strumento di rappresentazione tridimensionale come un dispositivo di ricerca, tanto quanto uno strumento persuasivo.
La famosa serie di disegni dei solidi platonici - e non - che egli fece come illustrazioni per il libro del suo amico Luca Pacioli è semplicemente uno dei tanti esempi di questo senso.