Matematica e società: il Liber abaci di Leonardo Fibonacci e la cultura dell'abaco.

Il 1202 è, per l’Occidente latino, l’anno di una rivoluzione culturale di enorme portata. Leonardo Fibonacci pubblica un suo ponderoso trattato, il Liber abaci, destinato a influire profondamente sulla società del suo tempo. Come osserva Enrico Giusti (Matematica e commercio nel Liber Abaci in Un ponte sul Mediterraneo, p. 93):

Quando il Liber Abaci vide la luce, ottocento anni or sono, la matematica nell’Occidente cristiano era praticamente inesistente: se si eccettuano le traduzioni dall’arabo che alla fine del XII secolo un gruppo di studiosi andava conducendo nella Spagna mussulmana, traduzioni che riguardavano soprattutto i grandi

classici (Euclide in primo luogo) dell’antichità greca, ben poco circolava in Europa all’inizio del Duecento. Soprattutto ben poco di comparabile per mole e per profondità a quanto Leonardo Fibonacci avrebbe reso pubblico nel 1202.

Il trattato è molto vasto (nell’edizione di Baldassarre Boncompagni, quasi 500 pagine in-quarto grande) e può essere visto come diviso in quattro parti: la prima (i primi sette capitoli) insegna i fondamenti dell’aritmetica (le cifre “indiane”, la notazione posizionale, gli algoritmi di calcolo con numeri interi e frazioni). A questa seguono i capitoli di “matematica per mercanti”: cambi di monete, pesi e misure, acquisto e vendita di merci, baratti, società (capitoli 8–11). La terza parte contiene problemi “dilettevoli e curiosi”: fra questi il famoso problema dei conigli, che dà luogo alla famosa successione

di Fibonacci (1, 2, 3, 5, 8, 13 . . . : capitolo 12). La quarta parte contiene tecniche e problemi più complessi e astratti: dalla regola della “doppia falsa posizione” (cap. 13) a estrazioni di radici quadrate e cubiche (cap.14); dalla teoria delle proporzioni geometriche all’algebra (cap. 15).

Tutto qui? Un’opera capitale nella storia del pensiero umano sarebbe un volumone in cui sostanzialmente si insegna solo a fare le quattro operazioni? E' è roba da elementari. Delle nostre scuole elementari.

E proprio il fatto che questa matematica si sia radicata a tal punto nella nostra cultura da potere e dovere essere insegnata ai bambini insieme con l’alfabeto è la prova che attraverso il Liber abaci si veicol`o una rivoluzione culturale.

Per la prima volta, dopo la sua invenzione da parte dei Greci nel V secolo a.C., la matematica si compenetra nella società. Nel 1202 nasce una società che pone alla base delle sue transazioni un linguaggio, un metodo e un approccio matematici.

Lo svilupparsi di reti commerciali sempre più vaste, l’espandersi delle dimensioni delle imprese e le conseguenti esigenze di adeguare i sistemi di contabilità, fecero sì che le diffidenze iniziali si andassero rilassando nel corso del Duecento: Fibonacci stesso nel 1241 fu incaricato dal Comune di Pisa di tenere corsi per i suoi funzionari. Nasce così la figura del “maestro d’abaco”; prende piede un’istituzione fondamentale per la storia d’Europa: la “scuola d’abaco”. La sua diffusione, ancora esitante nel XIII secolo, diventa impetuosa nel corso del Trecento e del Quattrocento. Nella sola Firenze, tra l’ultimo ventennio del Duecento e il primo quarantennio del Cinquecento operarono a Firenze una settantina di abacisti, quasi tutti maestri d’abaco, e si ha notizia di venti scuole d’abaco. Verso la fine del Quattrocento, almeno il 25% dei ragazzi in qualche modo “scolarizzati” frequentava questo tipo di scuole; nella Venezia del Cinquecento la percentuale sale addirittura al 40%.

Alla scuola d’abaco si entrava circa all’età di dieci anni, dopo aver imparato a leggere e a scrivere a quella di grammatica; il corso durava circa due anni. Le scuole d’abaco erano ovviamente frequentate da coloro che volevano dedicarsi alla mercatura ma anche da chi intendeva entrare nelle botteghe artigiane per diventare architetto, pittore o scultore. Erano per la maggior parte istituite e sovvenzionate dai Comuni, ma molte (a Firenze, per esempio) erano private. è in queste scuole che si formarono alcuni dei grandi nomi del nostro Rinascimento: Piero della Francesca, Michelangelo, Machiavelli, Leonardo (per non citare che i più famosi fra quelli per cui esiste una documentazione certa) provengono da questo ambiente culturale e alcuni di essi, come Piero e Leonardo, lo alimentarono attivamente.

Fra il XIII e il XVI secolo la scuola d’abaco sarà la scuola di quello strato culturale intermedio che è al tempo stesso il produttore e il fruitore principale della matematica abachistica.

È lo strato culturale cui appartengono coloro che non sono illetterati, ma nemmeno ambiscono alle professioni liberali — medicina, diritto, teologia. Sostanzialmente estranei alla cultura universitaria legata inscindibilmente al latino, sviluppano una cultura parallela, che potrebbe chiamarsi cultura dell’abaco, dal nome delle scuole in cui si formano i mercanti, gli artisti, i tecnici, gli uomini d’arme, gli stessi nobili.

Che matematica vi si insegnava? Essenzialmente gli argomenti che abbiamo riassunto descrivendo il Liber Abaci, ma attraverso lo strumento del “trattato” o del “libro d’abaco”.

Warren van Egmond ne ha recensito un gran numero, e il Centro Studi della Matematica Medioevale dell’Università di Siena ne ha pubblicato diversi; se ne conoscono attualmente circa trecento. Il libro d’abaco diventa una sorta di prontuario di “esercizi” che serve al maestro per insegnare ai suoi scolari. La matematica della cultura dell’abaco prende infatti una strada molto diversa da quella della matematica classica e anche (sia pur in misura minore, date le sue origini) da quella araba. La struttura assiomatico-deduttiva scompare quasi completamente, l’insegnamento avviene per esposizione ripetuta a casi esemplari: il libro d’abaco ne costituisce appunto una riserva che il maestro potrà—avendone le capacità —ampliare. Lo scolaro, esercizio dopo esercizio, arriverà a poter trattare, oltre all’aritmetica e ai suoi algoritmi quei problemi che è destinato a incontrare quotidianamente nella sua vita professionale: interessi, società, compagnie, baratti, cambi di monete e di misure, problemi di geometria pratica (misure di campi, di capacità, di distanze).

La cultura dell’abaco si dota così di una sua matematica: una matematica nuova per una società nuova, che sembra aver dimenticato il modello greco. Sembrerebbe, da quanto siamo venuti dicendo, una perdita secca: non a caso, come discuteremo fra breve, il Medioevo non riuscirà a cogliere e ad apprezzare di Archimede che gli aspetti che più si prestavano a essere trasformati in regole pratiche: la misura del cerchio e quella della sfera. Eppure è proprio negli ambienti delle scuole d’abaco che si sviluppano i primi passi in avanti rispetto alle conoscenze classiche: tanto per fare due esempi la nascita della prospettiva teorica e la nuova teoria delle equazioni si sviluppano proprio attraverso il lavoro fatto nelle scuole d'abaco.

[testo tratto a P.D: Napolitani, L'Italia del Rinascimento, 2007]

La matematica nel “doppio ritratto” di Luca Pacioli

La matematica nel “doppio ritratto” di Luca Pacioli

Diamo un'occhiata agli oggetti sul tavolo.

1) Il volume chiuso: la Summa.

Si tratta di un dodecaedro in legno appoggiato su un ponderoso volume con la scritta L[IBER] R[EVERENDI] LUC[AE] BUR[GENSIS] facilmente identificabile con la Summa de aritmetica geometria pubblicata a Venezia nel 1494.

I volumi che uscivano dalle stamperie non necessariamente avevano una legatura, di solito le copie destinate ad un uso più diretto, come ad esempio quelle per l'autore, restavano rilegati soltanto con una semplice carta pergamena, mentre le copie per i personaggi più importanti venivano confezionate in modo ben più lussuoso. Quindi la ricca legatura indica quasi certamente che non si tratta della copia del Pacioli, ma della copia donata al duca, o al personaggio ritratto. I volumi che uscivano dalle stamperie non avevano legatura, le legature quindi potevano essere le più semplici in carta pergamena o ricchissime come vediamo qui.

La Summa porta la dedica a Guidubaldo da Montefeltro e questo è un buon argomento a favore dell’identificazione del personaggio col duca urbinate. Sempre nella Summa troviamo una notizia che riguarda Guidubaldo, cioè che Pacioli nel 1489 aveva donato al duca modelli dei cinque solidi regolari: quindi la Summa e il dodecaedro stanno lì a indicare la comunanza culturale tra il duca e il frate di Sansepolcro. In realtà nello stesso passo della Summa, Pacioli dice di aver donato solidi regolari e semiregolari a Pietro de’ Valentari da Genova vescovo di Carpentras, lasciando aperta la questione.

2) Il volume aperto: gli Elementi.

Il libro aperto è una copia della prima edizione degli Elementi di Euclide, Venezia 1482, l’unica edizione a stampa disponibile all’epoca.

Diversamente dall’altro volume non presenta una legatura particolare perché, evidentemente si tratta della copia del Pacioli. Lo si vede, e il pittore lo vuole far capire, perché riproduce anche le notazioni a margine che non ci sono nelle copie standard. Va notato che nel 1509 Pacioli pubblica a Venezia una sua edizione degli Elementi, nel 1495 (anno di presunta realizzazione del ritratto) ci stava lavorando sopra.

Il testo è aperto a una pagina precisa e facilmente individuabile, quella con la proposizione VIII del libro XIII: il quadrato del lato del triangolo equilatero inscritto in una circonferenza è tre volte il quadrato del semidiametro della circonferenza. Sotto inizia la proposizione IX: la sezione aurea del semidiametro di una circonferenza è il lato del decagono regolare inscritto in essa. L’indice del Pacioli è puntato sull’inizio della proposizione VIII. Questa è la proposizione in causa.

Considerando l’estrema e voluta cura con cui il dipinto è eseguito, si nota che la copia degli Elementi è raffigurata aperta a metà circa, mentre nel libro vero la proposizione VIII, libro XIII, sta a soli 20 fogli dalla fine: sembra insomma che nel volume del Pacioli ci fosse un altro testo rilegato assieme agli Elementi.

3) La lavagnetta.

La presenza della lavagnetta, assieme al gesso e al cancellino, indica che siamo in piena lezione di matematica. Nel bordo della lavagnetta è scritto EUCLIDES, sulla lavagnetta è tracciata una figura geometrica, dei segmenti, dei numeri.

Partiamo dalla figura geometrica. Si riferisce chiaramente alla figura che accompagna la proposizione VIII, ci sono i dati essenziali dell’enunciato cioè la circonferenza, il semidiametro, il triangolo equilatero inscritto; la costruzione per la dimostrazione sparisce, ma c’è in più una linea che parte dal vertice superiore del triangolo e rimane come sospesa. La domanda è se la figura tracciata da Pacioli è completa, o se Pacioli l’ha lasciata incompleta volutamente, sfidando chi guarda a capire.

Sembra che la figura geometrica tracciata sia incompleta perché Pacioli è colto nel mezzo, e non alla fine, di una enunciazione.

Se questa interpretazione è corretta, il quadro diventa una sfida matematica, ovvero, nel pieno spirito del Pacioli, propone un problema da risolvere, lancia una sfida.

Con una mano Pacioli indica una proposizione degli Elementi mettendoci in condizione di identificarla, mentre con la bacchetta indica il segmento tracciato solo in parte, manca solo la sua voce per dire: e adesso come andiamo avanti, come mettiamo insieme queste cose, che c’entrano?

Questo è un significato del quadro che ha le funzioni di ritrarre personaggi illustri, di squadernare un mondo matematico, di coinvolgere in questo mondo matematico, proponendo qualcosa d’intrigante, di enigmistico si potrebbe dire.

Proviamo a risolvere il quesito proposto. Se la linea è incompleta dove va a finire? Ritengo che debba terminare sulla circonferenza. Certamente la linea incompleta non finisce nella parte di circonferenza sotto il diametro. L'ambiguità dovuta al fatto che la circonferenza è vista di scorcio, lascia aperte due possibilità: il punto della circonferenza dove termina il segmento incompleto è il punto X dove il semidiametro DX perpendicolare al diametro AE, interseca la circonferenza, oppure termina su un punto della circonferenza più in alto.

4) Prima ipotesi.

Se cade dove cade il diametro, allora la linea, una volta completata, è il lato del quadrato inscritto nella circonferenza. Questa mi pare un’ipotesi dotata di buone ragioni. La prima ragione è la semplicità. Come dice la proposizione VIII, libro XIII il quadrato del lato del triangolo è tre volte il quadrato del semidiametro, è una relazione tra il semidiametro e il lato del triangolo inscritto. Immediato sarebbe pensare a una relazione tra il semidiametro e il lato del quadrato inscritto. Da cui si ricava facilmente la relazione tra i lati del triangolo e del quadrato inscritti nella medesima circonferenza. Se il quadrato del lato del quadrato è uguale al doppio del quadrato del semidiametro, allora vale la relazione che il quadrato del lato del quadrato è i 2/3 del quadrato del lato del triangolo equilatero.

L’ipotesi trova a mio parere una conferma indiretta dal calcolo numerico sempre sulla lavagna in basso a destra: 478 + 935 + 621 = 2034.

Conoscendo Pacioli è difficile che i numeri siano stati presi a caso. A un primo esame non si tratta di numeri particolari, ad esempio non sono numeri perfetti, numeri amici, numeri di Fibonacci, ecc. E nemmeno di un quadrato magico. L’unica diciamo armonia che ho trovato è la seguente: se 621 è il perimetro di un triangolo equilatero di lato 207, allora 478 è il perimetro del quadrato costruito sul raggio della circonferenza. Ovvero nella VIII, XIII Euclide geometra mette in relazione le superfici, mentre Pacioli che è anche aritmetico e algebrista mette in relazione numerica casi specifici di perimetri secondo l’uso dell’ambiente della matematica pratica, ovvero matematica abachistica, di trattare sempre specifici casi numerici. Anche i tre segmenti disegnati nell’angolo in alto a sinistra della lavagna acquistano un senso, rappresenterebbero le tre grandezze in gioco: il semidiametro, il lato del quadrato e il lato del triangolo equilatero.

Un ultimo indizio a favore di questa ipotesi è che il rombicubottaedro appeso è formato da quadrati e da triangoli equilateri.

5) Seconda ipotesi.

L’altra ipotesi è che il segmento incompleto cada prima del semidiametro. A mio parere le possibilità sono due: o il segmento è il lato di un pentagono regolare inscritto, o cade in un punto speciale che dà luogo a un rapporto aureo tra i segmenti.

In ordine di plausibilità dopo l’ipotesi del quadrato a mio parere viene quella del pentagono, cioè della ricerca delle stesse relazioni di cui sopra, ma tra il triangolo e il pentagono inscritti nella stessa circonferenza. Il rapporto tra i quadrati dei rispettivi lati è (5 - √5)/6 che non è poi più complicato del rapporto della sezione aurea che è (√5 – 1)/2. Teniamo conto che l’altro poliedro è il dodecaedro formato da 12 pentagoni e che la successiva proposizione IX riguarda proprio la costruzione del pentagono regolare.

6) Altre ipotesi.

Com'era consuetudine nei testi dell'epoca, il cerchio non indica una figura piana ma una figura solida cioè una sfera; il punto di caduta è individuato dividendo il diametro della sfera in tre parti uguali AH, HK, KE e mandando da H la perpendicolare ad AE che intercetta un punto X sulla sfera. Il segmento AX così ottenuto ha la proprietà di essere lo spigolo del cubo inscritto nella sfera, e la sezione aurea di questo spigolo è lo spigolo del dodecaedro inscritto nella medesima sfera. È la proposizione XVII del libro XIII degli Elementi.

Un’ulteriore ipotesi, senz'altro più remota perché poco coerente con il contesto del quadro, è sempre sulla sezione aurea.

Il segmento incompleto, e incompreso, cade in un punto della circonferenza individuato mediante la costruzione tipica della sezione aurea. Ovvero AG = AE e tra loro perpendicolari, si congiunge poi G col centro della circonferenza D individuando X sulla circonferenza. Si unisce poi X con E. Vale un rapporto aureo tra i segmenti così ottenuti:

(AX + XE) : XE = XE : AX.

Questa è una delle proprietà della sezione aurea che Pacioli elenca nella Divina proportione, tuttavia mi pare poco per credere che sia questo il caso in questione.

Infine potrebbe essere che Pacioli ci sfida a trovare un’altra dimostrazione della proposizione VIII libro XIII, diversa dalla dimostrazione euclidea. Dato il personaggio non è da escludere al cento per cento.

Le matematiche nel XV secolo [idee per un articolo]

Abacist vs. Algorismistda Gregor Reisch, Margarita Philosophica
Strassbourg, 1504

Nel panorama culturale del Quattrocento è consuetudine distinguere due tradizioni culturali, diverse nella concezione delle scienze matematiche e nell'uso applicativo.

Da una parte il sapere dei dotti, espresso in lingua latina e coltivato o nelle Università o nelle corti. Dall'altra la cultura pratica diffusa negli strati intermedi alfabetizzati: artigiani, mercanti, architetti, maestri d'abaco, idraulici, cartografi, meccanici, artiglieri e tutti gli altri tecnici, che usavano la lingua volgare e produssero una consistente trattatistica di matematica pratica.

I due mondi comunque rimasero sostanzialmente distinti e poco comunicanti, anche se non mancarono importanti interscambi, in vari ambiti, attraverso traduzioni da un idioma all'altro e interessanti corrispondenze e frequentazioni. Ad esempio alcuni celebri pittori, educati culturalmente all'interno della tradizione pratica e tecnica delle botteghe e delle scuole d'abaco, trovarono in umanisti e dotti matematici utili e validi intermediari. E' questo il caso della collaborazione di Piero della Francesca con i dotti di Sansepolcro che realizzarono le versioni latine del De Prospectiva Pingendi e del Libellus de Quinque Corporibus Regularibus, oltrer con la redazione di una versione latina delle opere di Archimede¹.

In generale i due mondi rimasero separati, come dimostra il fatto che anche un artista geniale come Leonardo, si autodefiniva “omo sanza lettere”, ove con “lettere” s'allude alle lettere greche e latine, riservate alla cultura colta.

Nelle università italiane del XV secolo erano attivi gli insegnamenti per la realizzazione di quattro figure professionali: il maestro delle arti, il giurista, il medico e il teologo. Le arti liberali del trivio (grammatica, retorica, dialettica) e del quadrivio (aritmetica, geometria, astronomia, musica) erano soprattutto funzionli alla formazione di medici e teologi, che erano le figure più in vista, soprattutto dopo l'introduzione delle opere di Aristotele (l'Etica Nicomachea, la Physica, il De Anima, il De coelo, De generatione e corruptione, la Metaphysica) nei programmi del trivio, al punto da mettere in secondo piano le materie del quadrivio, coltivate perloppiù nelle facoltà di medicina, in stretta associazione con l'astrologia e la musica. Insomma un ruolo molto marginale. Anche quando sorsero gruppi di studiosi che posero in crisi il sistema filosofico di Aristotele (i francescani Roberto Grossatesta e Ruggero Bacone rivalutarono il ruolo della geometria come mezzo di conoscenza della natura; ad  Oxford Bradwardine impiegò le proporzioni per mostrare le contraddizioni della dinamica aristotelica, a Parigi Buridano e Nicola d'Oresme recuperarno la geometria per la spiegazione della teoria degli urti) la matematica era comunqque al servizio della filosofia, restando

comunque le discipline del quadrivio secondarie rispetto a quelle del trivio.

La matematica nelle Università italiane (Pisa, Bologna, Padova) si basava sullo studio di testi che riassumevano e commentavano alcuni greci, ellenistici e arabi, tradotti in latino (come il De institutione arithmetica di Boezio, la Sfera di Sacrobosco, l'Almagesto, soprattutto i primi tre libri degli Elementi di Euclide) più qualche testo coevo proveniente da Parigi e/o Oxford.

La febbrile attività di traduzione dall'arabo in latino che ebbe luogo a Toledo, Salamanca e Barcellona, ma anche in Sicilia nel corso del XII secolo aveva reso disponibili una quantità di opere estremamente vasta, ma il loro uso nella didattica universitaria fu decisamente  istretto, per vari motivi². E ai classici si sostituirono dei compendi medievali dotti. Solo in epoca Umanistica, mediante l'instancabile opera di recupero dei codici greci, si concentrarono in Italia gran parte dei classici matematici più importanti (di tradizione greco-ellenistica e arabo-latina) soprattutto nelle biblioteche di Firenze, Venezia, Roma e Urbino. Iniziarono nel XV secolo le traduzioni latine di Euclide e di Archimede, e di studi condotti direttamente dai codici greci. La figura più importante dell'umanesimo matematico è senz'altro il Regiomontano che oltre a fondare la moderna trigonometria, presentò un vero e proprio progetto editoriale per la rinascita della matematica e dell'astronomia.

Parallelamente alla matematica dei dotti, nel '400 si sviluppò la tradizione delle scuole d'abaco³ e degli abacisti, che prese spunto più o meno direttamente dal Liber Abaci (1202) di Leonardo Pisano, detto Fibonacci, autentico modello del manuale di matematica applicata, scritto in latino che, però, non entrò mai nei curricola universitari. Dal Liber Abaci i mercanti ebbero un buon strumento con tutti i rudimenti algebrici per risolvere questioni riguardanti i cambi di valute, i baratti, gli interessi, gli sconti, i pesi e le misure, le leghe metalliche. Quest'opera costituì il “libro di testo” per le botteghe d'abaco del Centro e Nord Italia fino a tutto il XV secolo. In queste scuole (a volte istituite dagli stessi maestri, a volte dalle corporazioni, a volte pubbliche) ragazzi di 10-12 anni venivano formati in algebra, aritmetica e geometria. Il Trattato d'Abaco di Piero della Francesca è un po' anomalo: sebbene sia scritto in volgare allo scopo di esporre “alcune ragioni mercantesche commo baracti, meiti e

compagnie”, delle 128 carte di cui è composto, ben 48 sono dedicate alla geometrie e 56 all'algebra, mostrando grande perizia nel disegno e, soprattutto, conoscvenza diretta degli Elementi di Euclide. Si tratta con ogni probabilità di uno dei massimi livelli della matematica abachistica. Attraverso questi manuali e queste scuole anche i tecnici raggiunsero livelli notevoli di abilità matematiche, su questioni ignorate nella matematica delle università.

Scienza e tecnica restavano separate da un fossato linguistico e sociale.

1 - “l'oratore, poeta e retorico, greco e latino (suo assiduo consotio, e similmente conterraneo) maestro Matheo la reccò

in lingua latina, ornatissimamente, de verbo ad verbum, con esquisiti vocabuli” (L. Pacioli, Summa de arithmetica

geometria proportioni et proportionalità, Venetiis, Paganino de' Paganini, 1494)

2- Alcune motivazioni: la lenta circolazione dei manoscritti; l'incertezza delle versioni, realizzate spesso da persone poco competenti; il tramite arabo, dotato di ben altri strumenti matematici rispetto a quelli della cultura latina medievale; la scarsa importanza del quadrivio.

3- Il Medioevo aveva ereditato dal mondo antico una tavoletta di legno con i bordi rilevati e otto bacchette con palline mobili usate per i calcoli: l'abaco. Ma i trattati d'abaco non presupponevano l'uso di tale strumento: insegnavano a risolvere problemi commerciali tramite cacloli svolti su carta.