Mille cifre decimali per la radice di due. Anzi un milione.

Non tutti i numeri sono razionali.


Ci sono numeri famosi che non sono rappresentabili come frazioni: c'è il famoso Pi greco, o il numero e di Nepero. Ma il più antico irrazionale è quello pitagorico: la radice quadrata di 2.
Ho proposto ai miei studenti della seconda classe del corso Costruzioni Ambiente Territorio di Città di castello di trovare le prime cento cifre decimali di questo numero per verificare che non vi sono ripetizioni, ovvero che radice di due non è un numero decimale periodico. Confermando poca curiosità, nessuno ha svolto il compito assegnato.


Mi sembra necessario precisare qui il risultato (reperibile su Internet), per sfregio ovviamente ne indico mille:



1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 3501384623 0912297024 9248360558 5073721264 4121497099 9358314132 2266592750 5592755799 9505011527 8206057147 0109559971 6059702745 3459686201 4728517418 6408891986 0955232923 0484308714 3214508397 6260362799 5251407989 6872533965 4633180882 9640620615 2583523950 5474575028 7759961729 8355752203 3753185701 1354374603 4084988471 6038689997 0699004815 0305440277 9031645424 7823068492 9369186215 8057846311 1596668713 0130156185 6898723723 5288509264 8612494977 1542183342 0428568606 0146824720 7714358548 7415565706 9677653720 2264854470 1585880162 0758474922 6572260020 8558446652 1458398893 9443709265 9180031138 8246468157 0826301005 9485870400 3186480342 1948972782 9064104507 2636881313 7398552561 1732204024 5091227700 2269411275 7362728049 5738108967 5040183698 6836845072 5799364729 0607629969 4138047565 4823728997 1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112 0249441341 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101 7111168391 6581726889 4197587165 8215212822 9518488472 08969 ....


Per i più curiosi, sul sito della NASA (agenzia spaziale degli Stati Uniti d'America) è possibile leggerne un milione.. ecco il link: http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/sqrt2.1mil

Una probabile dimostrazione dell'irrazionalità di radice di 2

Euclide Elementi X Appendice 27 , vol III p.408-Heiberg                                         

(Nella sua edizione degli Elementi euclidei Heiberg ha collocato questa dimostrazione in appendice come aggiunta spuria, accettando l'ipotesi che si tratti di una dimostrazione nata in ambiente pitagorico. Heiberg la considera un'interpolazione, insieme con tutta l'estrema parte del libro X. Alcuni studiosi avanzano invece l'ipotesi che non si tratti di un'interpolazione , ma proprio di uno spostamento ,che Heiberg esclude: Euclide avrebbe avvertito, alla fine del X libro, l'opportunità di dimostrare con un esempio l'esistenza di quelle grandezze incommensurabili da lui definite al principio del X libro, e sarebbe ricorso all'esempio classico della diagonale e lato del quadrato)

Prokeisqw hmiv deixai , oti epi twn tetragwnwn schmatwn asummetroV estin h diametroV thi pleuai mhkei.Estw tetragwnon to ABGD , diametroV de autou h AG legw ,oti h GA asummetroV esti thi AB mhkei .Ei gar dunaton ,estw summetroV: legw oti sumbhsetai ton auton ariqmon artion einai kai perisson...........

Sia da dimostrare che nelle figure quadrate il diametro è incommensurabile col lato in lunghezza.Sia ABCD un quadrato e AC il suo diametro ; dico che AC è incommensurabile in lunghezza con AB .Supponiamo che sia commensurabile : dico che ne conseguirà che lo stesso numero sia insieme pari e dispari.....

Noi oggi diremmo così:            

Il rapporto tra la diagonale ed il lato di un quadrato non sarà mai uguale ad n/m con n ed m interi e primi tra loro.

Per il teorema di Pitagora 2 L²=D²

Se per assurdo D/L =n/m anche D²/L²= n²/m²

e quindi n²/m²=2 ossia  n²=2 m²

ma se 2 è un fattore di n con esponente pari non può essere contenuto a destra dell'uguaglianza con esponente dispari , quindi il rapporto tra la diagonale ed il lato del quadrato non è un numero razionale (n/m) ma irrazionale radice di 2= 1,4142..... con infinite cifre decimali

Possiamo dimostrare l'irrazionalità di radice di 2 con un origami

La diagonale del quadrato di lato 12 è 12RAD 2 che è molto vicino a 17

Se RAD2 fosse un numero razionale , per esempio proprio 17/12 , la diagonale misurerebbe 17 ,  e piegando il lato sulla diagonale resterebbe un triangolo rettangolo isoscele di ipotenusa 7 e cateti 5 , per cui RAD2 sarebbe anche 7/5 ,mentre un numero razionale ammette un'unica rappresentazione sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini,mentre qui 17/12 e 7/5 sono due numeri razionali distinti.

Quindi Ö 2 è un numero irrazionale

Costruzione di un segmento di lunghezza RADn

Partiamo da un triangolo rettangolo isoscele con i cateti di lunghezza unitaria , l'ipotenusa sarà RAD 2 ,facciamo diventare questa ipotenusa il cateto di un nuovo triangolo rettangolo con l'altro cateto nitario, ora l'ipotenusa sarà RAD3, ora facciamo diventare questa ipotenusa come cateto di un nuovo triangolo rettangolo con l'altro cateto unitario , l'ipotenusa sarà ora RAD 4 ,ecc.

                             

Altra costruzione di un segmento di lunghezza RADn 

Sia n=a X b

Costruiamo una semicirconferenza di diametro a+b   

Da H tracciamo la perpendicolare ad AB che incontra la semicirconferenza in C

Il segmento CH ha lunghezza RAD n .

Dim   infatti per il II teorema di Euclide  CH²= AH*HB=a*b=n

                                                               CH = RADn

I babilonesi usavano un metodo matematico per calcolare una buona approssimazione

di RAD n

Algoritmo babilonese per il calcolo della radice quadrata di a

Sia a1 una approssimazione per difetto

b1=a/a1 per eccesso

a2=(a1+b1)/2 per eccesso

b2= a/a2 per difetto

a3=(a2+b2)/2

ecc



Grazie a http://www.orianapagliarone.it

Riflessioni sulla matematica greca 1 / La scuola pitagorica e la prima crisi dei fondamenti della matematica

Il primo organico tentativo di dare una fondazione della matematica fu probabilmente quello della scuola pitagorica il cui assunto di partenza è che: alla base di tutto è il numero intero.



La scuola pitagorica era una setta mistico-religiosa che si sviluppò in Grecia ed in Italia (Crotone), tra il 570 ed il 500 a.C., attorno ad un mitico personaggio chiamato Pitagora. Le idee di tale scuola sono di fondamentale importanza per la storia della cultura occidentale perché da esse inizierà quel processo che trasformerà in una scienza razionale quella disarticolata raccolta di risultati dettati dall'esperienza che era la scienza pre-ellenica.
Naturalmente non bisogna immaginare i pitagorici come scienziati campioni di razionalismo.
Il carattere mistico di questa scuola era fortissimo, siamo in presenza di una vera e propria setta religiosa (e politica) che credeva, tra le altre cose, che le anime dei morti si reincarnassero negli animali. Anche le "regole" di tale setta ci appaiono notevolmente bizzarre. Ad esempio ecco alcuni comandamenti:
- non toccare un gallo bianco
- non addentare una pagnotta intera
- non guardare uno specchio accanto ad un lume.
Ma queste stranezze non tolgono ai pitagorici il merito di costituire il punto di inizio della moderna cultura scientifica. Di essi ne parla Aristotele al modo seguente, dove si deve tenere conto che allora per "numero" si intendeva "numero intero positivo".

Tra i primi filosofi, ..., furono i cosiddetti Pitagorici, i quali, applicatisi alle scienze matematiche, le fecero per i primi progredire; cresciuti poi nello studio di esse, vennero nell'opinione che i loro principi fossero i principi di tutti gli esseri... Pensarono che gli elementi dei numeri fossero gli elementi di tutte le cose, e che l'universo intero fosse armonia e numero (Aristotele, Metafisica).

Si deve tenere conto che in quel periodo era forte il desiderio di trovare i "principi ultimi" e che questi venivano cercati negli elementi naturali come l'aria, l'acqua o il fuoco. Forse però per capire meglio il pensiero dei Pitagorici, vediamo cosa dice uno di loro, Filolao.

Nessuna menzogna accolgono in sé la natura del numero e l'armonia: non è cosa loro la menzogna. La menzogna e l'invidia partecipano della natura dell'illimitato, dell'intellegibile e dell'irrazionale. Nel numero non penetra menzogna, perché la menzogna è avversa e nemica della natura, così come la verità è connaturata e propria alla specie dei numeri . . .

Nulla sarebbe comprensibile, né le cose in sé né le loro relazioni, se non ci fossero il numero e la sua sostanza.

Tutte le cose che si conoscono hanno numero: senza il numero non sarebbe possibile pensare né conoscere alcunché.

Da quel "tutte le cose che si conoscono hanno un numero" scaturiva poi il convincimento circa la struttura granulare e discreta delle figure geometriche e, più in generale, del mondo fisico. Ciò comportava, ad esempio, una concezione del segmento come insieme (finito) di punti-unità, punti che venivano intesi come veri e propri corpi con una determinata grandezza.
Infatti era solo in base a tale ipotesi che i numeri interi potevano rappresentare lo strumento perfettamente adeguato alla descrizione della realtà, anzi, in un certo senso, venivano a coincidere con la realtà stessa. In tale modo la geometria non si considerava distinta dall'aritmetica e, in un certo senso, l'aritmetica assumeva una forma geometrica. Dei numeri infatti si dava una rappresentazione geometrica o, se si vuole, fisica, tramite una opportuna configurazione di punti-sassolino. Ad esempio i pitagorici avevano a che fare con  numeri triangolari o quadrati o rettangolari...



L'importanza della svolta impressa dalla scuola pitagorica non si limita alla sola matematica poiché la fede nella potenza regolarizzatrice del numero intero, il procedimento di astrazione, l'uso delle dimostrazioni nel procedere scientifico, rappresentano il nascere dell'aspetto fondamentale della cultura occidentale: il convincimento che il mondo sia comprensibile non attraverso l'ascesi mistica, la contemplazione, come viene ritenuto dalle culture orientali, ma attraverso l'attività raziocinante. Con Pitagora ha inizio un processo di
idealizzazione e razionalizzazione di tutte le forme di conoscenza che dominerà perfino la nostra cultura religiosa. Afferma ad esempio Bertrand Russell in "Storia della filosofia occidentale" (libro che consiglio di leggere perché vivace, comprensibile ed economico):

La religione razionalistica, al contrario di quella apocalittica, è stata da Pitagora in poi (ed in particolare da Platone in poi) completamente dominata dalla matematica e dal metodo matematico. La combinazione di matematica e di teologia, che cominciò con Pitagora, caratterizzò la filosofia religiosa in Grecia, nel Medioevo e nell'era moderna fino a Kant. L'orfismo precedente a Pitagora era analogo alle misteriose religioni asiatiche. Ma, in Platone, Sant'Agostino, Tommaso d'Aquino, Cartesio, Spinosa e Leibniz, vi è un intimo intrecciarsi di religione e di ragionamento, di aspirazione morale e di ammirazione logica per ciò che è eterno, il quale viene da Pitagora e distingue la teologia intellettualizzata dell'Europa dal più diretto misticismo asiatico.

Le concezioni dei pitagorici furono però ben presto messe in crisi dalla scoperta della esistenza di grandezze geometriche "incommensurabili". Questo fatto è conseguenza del teorema che va proprio sotto il nome di “Teorema di Pitagora”.

Teorema 1. Dato un triangolo rettangolo, se si considera l’unione dei due quadrati costruiti sui cateti otteniamo una figura che ha la stessa estensione del quadrato costruito sull’ipotenusa.


E quindi:

Teorema 2. Dato un quadrato, per quanto si scelga piccolo un segmento come unità di misura, le misure del lato e della diagonale non possono essere mai espresse da numeri interi.



Possiamo concludere pertanto che i numeri interi non costituiscono uno strumento sufficiente
per effettuare misure geometriche. La cosa non migliora se si coinvolgono i numeri razionali.


Infatti vale anche la seguente proposizione.
Teorema 3. Dato un quadrato, per quanto si scelga piccolo un segmento come unità di
misura, le misure del lato e della diagonale non possono essere mai espresse da numeri
razionali.



In definitiva, in termini attuali, diremmo che perfino la misurazione di grandezze legate alla figura geometrica più elementare, il quadrato, comporta necessariamente il coinvolgimento dei numeri irrazionali. Ora, se si tiene conto del fatto che per gli antichi greci i soli numeri esistenti erano gli interi positivi, ciò significava per la cultura del tempo che: vi sono più cose in geometria (e quindi nel mondo fisico) di quanto i numeri siano capaci di esprimere.


D'altra parte, poiché la razionalità veniva identificata con il numero (cioè la possibilità di esprimere tramite numeri e rapporti di numeri i fenomeni del mondo), una tale conclusione comportava la messa in discussione della stessa possibilità, da parte dell'uomo, di pervenire alla conoscenza2. Alla luce della scoperta di grandezze incommensurabili come il lato e la diagonale del quadrato la stessa concezione delle rette ed in generale di ogni figura geometrica come somma finita di punti-atomo, che era propria della scuola pitagorica, non poteva più reggere. Se infatti i segmenti fossero costituiti da un numero finito di particelle indivisibili, tutte di lunghezza u, allora ovviamente il lato e la diagonale del quadrato avrebbero lunghezza multiplo di u. D'altra parte si tenga presente che una tale concezione coincide proprio con quella della fisica moderna che sembra pertanto essere in contrasto con la geometria, o, per meglio dire, con il teorema di Pitagora.



Concludo, provvisoriamente, osservando che:
se con la scuola pitagorica abbiamo il primo tentativo di fondazione generale della matematica, con la scoperta delle grandezze incommensurabili siamo in presenza della prima crisi dei fondamenti della matematica.