Una probabile dimostrazione dell'irrazionalità di radice di 2

Euclide Elementi X Appendice 27 , vol III p.408-Heiberg                                         

(Nella sua edizione degli Elementi euclidei Heiberg ha collocato questa dimostrazione in appendice come aggiunta spuria, accettando l'ipotesi che si tratti di una dimostrazione nata in ambiente pitagorico. Heiberg la considera un'interpolazione, insieme con tutta l'estrema parte del libro X. Alcuni studiosi avanzano invece l'ipotesi che non si tratti di un'interpolazione , ma proprio di uno spostamento ,che Heiberg esclude: Euclide avrebbe avvertito, alla fine del X libro, l'opportunità di dimostrare con un esempio l'esistenza di quelle grandezze incommensurabili da lui definite al principio del X libro, e sarebbe ricorso all'esempio classico della diagonale e lato del quadrato)

Prokeisqw hmiv deixai , oti epi twn tetragwnwn schmatwn asummetroV estin h diametroV thi pleuai mhkei.Estw tetragwnon to ABGD , diametroV de autou h AG legw ,oti h GA asummetroV esti thi AB mhkei .Ei gar dunaton ,estw summetroV: legw oti sumbhsetai ton auton ariqmon artion einai kai perisson...........

Sia da dimostrare che nelle figure quadrate il diametro è incommensurabile col lato in lunghezza.Sia ABCD un quadrato e AC il suo diametro ; dico che AC è incommensurabile in lunghezza con AB .Supponiamo che sia commensurabile : dico che ne conseguirà che lo stesso numero sia insieme pari e dispari.....

Noi oggi diremmo così:            

Il rapporto tra la diagonale ed il lato di un quadrato non sarà mai uguale ad n/m con n ed m interi e primi tra loro.

Per il teorema di Pitagora 2 L²=D²

Se per assurdo D/L =n/m anche D²/L²= n²/m²

e quindi n²/m²=2 ossia  n²=2 m²

ma se 2 è un fattore di n con esponente pari non può essere contenuto a destra dell'uguaglianza con esponente dispari , quindi il rapporto tra la diagonale ed il lato del quadrato non è un numero razionale (n/m) ma irrazionale radice di 2= 1,4142..... con infinite cifre decimali

Possiamo dimostrare l'irrazionalità di radice di 2 con un origami

La diagonale del quadrato di lato 12 è 12RAD 2 che è molto vicino a 17

Se RAD2 fosse un numero razionale , per esempio proprio 17/12 , la diagonale misurerebbe 17 ,  e piegando il lato sulla diagonale resterebbe un triangolo rettangolo isoscele di ipotenusa 7 e cateti 5 , per cui RAD2 sarebbe anche 7/5 ,mentre un numero razionale ammette un'unica rappresentazione sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini,mentre qui 17/12 e 7/5 sono due numeri razionali distinti.

Quindi Ö 2 è un numero irrazionale

Costruzione di un segmento di lunghezza RADn

Partiamo da un triangolo rettangolo isoscele con i cateti di lunghezza unitaria , l'ipotenusa sarà RAD 2 ,facciamo diventare questa ipotenusa il cateto di un nuovo triangolo rettangolo con l'altro cateto nitario, ora l'ipotenusa sarà RAD3, ora facciamo diventare questa ipotenusa come cateto di un nuovo triangolo rettangolo con l'altro cateto unitario , l'ipotenusa sarà ora RAD 4 ,ecc.

                             

Altra costruzione di un segmento di lunghezza RADn 

Sia n=a X b

Costruiamo una semicirconferenza di diametro a+b   

Da H tracciamo la perpendicolare ad AB che incontra la semicirconferenza in C

Il segmento CH ha lunghezza RAD n .

Dim   infatti per il II teorema di Euclide  CH²= AH*HB=a*b=n

                                                               CH = RADn

I babilonesi usavano un metodo matematico per calcolare una buona approssimazione

di RAD n

Algoritmo babilonese per il calcolo della radice quadrata di a

Sia a1 una approssimazione per difetto

b1=a/a1 per eccesso

a2=(a1+b1)/2 per eccesso

b2= a/a2 per difetto

a3=(a2+b2)/2

ecc



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