Matematica e società: il Liber abaci di Leonardo Fibonacci e la cultura dell'abaco.

Il 1202 è, per l’Occidente latino, l’anno di una rivoluzione culturale di enorme portata. Leonardo Fibonacci pubblica un suo ponderoso trattato, il Liber abaci, destinato a influire profondamente sulla società del suo tempo. Come osserva Enrico Giusti (Matematica e commercio nel Liber Abaci in Un ponte sul Mediterraneo, p. 93):

Quando il Liber Abaci vide la luce, ottocento anni or sono, la matematica nell’Occidente cristiano era praticamente inesistente: se si eccettuano le traduzioni dall’arabo che alla fine del XII secolo un gruppo di studiosi andava conducendo nella Spagna mussulmana, traduzioni che riguardavano soprattutto i grandi

classici (Euclide in primo luogo) dell’antichità greca, ben poco circolava in Europa all’inizio del Duecento. Soprattutto ben poco di comparabile per mole e per profondità a quanto Leonardo Fibonacci avrebbe reso pubblico nel 1202.

Il trattato è molto vasto (nell’edizione di Baldassarre Boncompagni, quasi 500 pagine in-quarto grande) e può essere visto come diviso in quattro parti: la prima (i primi sette capitoli) insegna i fondamenti dell’aritmetica (le cifre “indiane”, la notazione posizionale, gli algoritmi di calcolo con numeri interi e frazioni). A questa seguono i capitoli di “matematica per mercanti”: cambi di monete, pesi e misure, acquisto e vendita di merci, baratti, società (capitoli 8–11). La terza parte contiene problemi “dilettevoli e curiosi”: fra questi il famoso problema dei conigli, che dà luogo alla famosa successione

di Fibonacci (1, 2, 3, 5, 8, 13 . . . : capitolo 12). La quarta parte contiene tecniche e problemi più complessi e astratti: dalla regola della “doppia falsa posizione” (cap. 13) a estrazioni di radici quadrate e cubiche (cap.14); dalla teoria delle proporzioni geometriche all’algebra (cap. 15).

Tutto qui? Un’opera capitale nella storia del pensiero umano sarebbe un volumone in cui sostanzialmente si insegna solo a fare le quattro operazioni? E' è roba da elementari. Delle nostre scuole elementari.

E proprio il fatto che questa matematica si sia radicata a tal punto nella nostra cultura da potere e dovere essere insegnata ai bambini insieme con l’alfabeto è la prova che attraverso il Liber abaci si veicol`o una rivoluzione culturale.

Per la prima volta, dopo la sua invenzione da parte dei Greci nel V secolo a.C., la matematica si compenetra nella società. Nel 1202 nasce una società che pone alla base delle sue transazioni un linguaggio, un metodo e un approccio matematici.

Lo svilupparsi di reti commerciali sempre più vaste, l’espandersi delle dimensioni delle imprese e le conseguenti esigenze di adeguare i sistemi di contabilità, fecero sì che le diffidenze iniziali si andassero rilassando nel corso del Duecento: Fibonacci stesso nel 1241 fu incaricato dal Comune di Pisa di tenere corsi per i suoi funzionari. Nasce così la figura del “maestro d’abaco”; prende piede un’istituzione fondamentale per la storia d’Europa: la “scuola d’abaco”. La sua diffusione, ancora esitante nel XIII secolo, diventa impetuosa nel corso del Trecento e del Quattrocento. Nella sola Firenze, tra l’ultimo ventennio del Duecento e il primo quarantennio del Cinquecento operarono a Firenze una settantina di abacisti, quasi tutti maestri d’abaco, e si ha notizia di venti scuole d’abaco. Verso la fine del Quattrocento, almeno il 25% dei ragazzi in qualche modo “scolarizzati” frequentava questo tipo di scuole; nella Venezia del Cinquecento la percentuale sale addirittura al 40%.

Alla scuola d’abaco si entrava circa all’età di dieci anni, dopo aver imparato a leggere e a scrivere a quella di grammatica; il corso durava circa due anni. Le scuole d’abaco erano ovviamente frequentate da coloro che volevano dedicarsi alla mercatura ma anche da chi intendeva entrare nelle botteghe artigiane per diventare architetto, pittore o scultore. Erano per la maggior parte istituite e sovvenzionate dai Comuni, ma molte (a Firenze, per esempio) erano private. è in queste scuole che si formarono alcuni dei grandi nomi del nostro Rinascimento: Piero della Francesca, Michelangelo, Machiavelli, Leonardo (per non citare che i più famosi fra quelli per cui esiste una documentazione certa) provengono da questo ambiente culturale e alcuni di essi, come Piero e Leonardo, lo alimentarono attivamente.

Fra il XIII e il XVI secolo la scuola d’abaco sarà la scuola di quello strato culturale intermedio che è al tempo stesso il produttore e il fruitore principale della matematica abachistica.

È lo strato culturale cui appartengono coloro che non sono illetterati, ma nemmeno ambiscono alle professioni liberali — medicina, diritto, teologia. Sostanzialmente estranei alla cultura universitaria legata inscindibilmente al latino, sviluppano una cultura parallela, che potrebbe chiamarsi cultura dell’abaco, dal nome delle scuole in cui si formano i mercanti, gli artisti, i tecnici, gli uomini d’arme, gli stessi nobili.

Che matematica vi si insegnava? Essenzialmente gli argomenti che abbiamo riassunto descrivendo il Liber Abaci, ma attraverso lo strumento del “trattato” o del “libro d’abaco”.

Warren van Egmond ne ha recensito un gran numero, e il Centro Studi della Matematica Medioevale dell’Università di Siena ne ha pubblicato diversi; se ne conoscono attualmente circa trecento. Il libro d’abaco diventa una sorta di prontuario di “esercizi” che serve al maestro per insegnare ai suoi scolari. La matematica della cultura dell’abaco prende infatti una strada molto diversa da quella della matematica classica e anche (sia pur in misura minore, date le sue origini) da quella araba. La struttura assiomatico-deduttiva scompare quasi completamente, l’insegnamento avviene per esposizione ripetuta a casi esemplari: il libro d’abaco ne costituisce appunto una riserva che il maestro potrà—avendone le capacità —ampliare. Lo scolaro, esercizio dopo esercizio, arriverà a poter trattare, oltre all’aritmetica e ai suoi algoritmi quei problemi che è destinato a incontrare quotidianamente nella sua vita professionale: interessi, società, compagnie, baratti, cambi di monete e di misure, problemi di geometria pratica (misure di campi, di capacità, di distanze).

La cultura dell’abaco si dota così di una sua matematica: una matematica nuova per una società nuova, che sembra aver dimenticato il modello greco. Sembrerebbe, da quanto siamo venuti dicendo, una perdita secca: non a caso, come discuteremo fra breve, il Medioevo non riuscirà a cogliere e ad apprezzare di Archimede che gli aspetti che più si prestavano a essere trasformati in regole pratiche: la misura del cerchio e quella della sfera. Eppure è proprio negli ambienti delle scuole d’abaco che si sviluppano i primi passi in avanti rispetto alle conoscenze classiche: tanto per fare due esempi la nascita della prospettiva teorica e la nuova teoria delle equazioni si sviluppano proprio attraverso il lavoro fatto nelle scuole d'abaco.

[testo tratto a P.D: Napolitani, L'Italia del Rinascimento, 2007]

Umanesimo e pedagogia: qualche idea.

È difficile tracciare un quadro generale e complessivo dell'idea pedagogica affermatasi in età umanistica e centrata sulla riscoperta dell'individualità e della creatività personale, che è un tratto culturale distintivo di questo periodo. Occorre parlare di una pluralità di voci e di modelli, che nel loro insieme rendono conto della ricchezza del movimento culturale di cui sono espressione.

Coluccio Salutati (1331-1406) è considerato il fondatore del movimento umanistico in Italia. L'importanza storica della sua opera risiede soprattutto nel contributo all'affermazione della cultura classica, anche se con giustificazioni per molti versi ancora tipiche del pensiero medievale. Salutati ritenne, infatti, che lo studio delle humanae litterae sia fondamentale nell'educazione di una persona da un lato perché utile alla comprensione delle Sacre Scritture, dall'altro, e qui con un pensiero più prettamente umanistico, perché vedeva una forte continuità tra i valori morali cristiani e classici (virtus latina e paideia greca).

L'opera che si può considerare il primo trattato organico di educazione in età umanistica e il De ingenius et liberalibus studiis adulescentiae di Pier Paolo Vergerio (1370-1444). In essa sono descritte le caratteristiche fondamentali della formazione del principe, sotto i due aspetti dell'uomo di governo e del guerriero. Nella formazione del principe sono fondamentali gli studi liberali, intesi nel senso degli studi che si convengono a un uomo libero, tramite i quali si coltivano la virtù e la sapienza e si raggiungono gloria e onore. Gli studi liberali non hanno più valore solo in funzione dell'educazione religiosa, bensì hanno un valore formativo intrinseco, nell'ambito di un'educazione sempre più incentrata sull'uomo. Tramite essi l'uomo di governo deve sviluppare una propria autonomia di giudizio all'interno della corte ed essere sempre disponibile all'ascolto della verità. Accanto all'educazione liberale il principe è chiamato altresì a una severaeducazione fisica, secondo l'esempio di Sparta, per prepararsi ai disagi della vita militare e abituarsi al disprezzo delle difficoltà. Vergerio, oltre a fissare il curriculum degli studi, in cui alla filosofia, alla storia e alla retorica si accostano la geometria, l'astronomia e il diritto, tratta anche problemi psico-didattici, raccomandando il rispetto dell'indole e del temperamento dei singoli alunni e insistendo sul criterio della gradualità nell'insegnamento delle varie discipline, due idee comuni a tutti gli umanisti.

Con Maffeo Vegio (1406-1448) vengono riprese le idee di Salutati, ma in un contesto più prettamente umanistico. Egli considera come soggetto educativo privilegiato non più il cristiano dotto come Salutati, o il principe come Vergerio, bensì il cittadino. La sua idea educativa mira alla formazione di un uomo con l'apporto equilibrato di elementi umanistici (ricavati da Cicerone, Virgilio, Orazio, Platone) e cristiani (fondamentale la lezione di sant'Agostino, che si nota soprattutto in una spinta più verso l'interiorità che verso l'attività esterna). Il perno dell'educazione è per Vegio la verecondia, concetto dai vari risvolti, ma che essenzialmente vuol dire compostezza, autocontrollo interiore e legge morale di rispetto verso se stessi e gli altri. Anche Vegio non si occupa solo del curriculum degli studi, ma affronta problemi di metodo. In particolare si discosta da Vergerio nell'affermare che, proprio in virtù del rispetto delle attitudini dei singoli soggetti, devono essere consentiti e incoraggiati non solo gli studi liberali ma anche l'avviamento al mondo degli affari (attività commerciale, agricola, ecc.). Altro tratto distintivo dell'ideale formativo di Vegio è ilfavorire l'educazione pubblica rispetto a quella privata ai fini di una migliore e più solida formazione sociale.

Ideali già tipicamente rinascimentali si trovano nel pensiero di Leon Battista Alberti (1404-1472). Nel proemio del suo trattato in volgare Della famiglia appare la figura di un uomo nuovo, che confidando nella propria “virtù”, nel proprio lavoro e nella propria creatività riesce a essere completamente artefice del proprio destino. Dal punto di vista pedagogico Alberti dà molto valore al lavoro, all'attività e all'esercizio, sia in ambito individuale sia in ambito sociale. La sede privilegiata in cui attuare il processo educativo è, secondo Alberti, la famiglia, non solo in forza del modello educativo del padre di famiglia ma degli aspetti complessivi della vita in comune. I suggerimenti didattici di Alberti non si discostano da quelli tipici del suo tempo sopra accennati; in più egli sottolinea con forza l'importanza di una formazione equilibrata in cui l'esercizio fisico è accostato allo studio intellettuale, nell'ottica, tipicamente rinascimentale, di uno sviluppo integrale della personalità.

Gli ideali pedagogici umanistici, oltre alle enunciazioni teoriche, trovano espressione concreta in alcunescuole, tra le quali sono esemplari quella di Guarino Veronese (1374-1460) e quella di Vittorino da Feltre(1378-1447). Anche se in entrambe la base educativa è costituita dallo studio dei classici greci e latini, la scuola di Guarino è orientata professionalmente alla formazione di insegnanti e ecclesiastici, e quindi più incentrata su uno studio filologico, mentre quella di Vittorino ha intenti formativi più ampi e da essa usciranno, infatti, uomini di stato e d'arme, magistrati e teologi.

A Guarino si deve l'aver approntato un piano di studi articolato in più corsi e un metodo di studio che servirà anche nei secoli successivi da modello negli studi classici. La sua formazione insiste certamente molto sugli aspetti filologici, ma è anche attenta al pensiero e ai valori morali espressi da ciascun autore.

La scuola di Vittorino promuove una formazione più ad ampio spettro, con una forte impronta morale come tratto di fondo. Da questa scuola sono usciti insigni personaggi dell'epoca, come i due figli del marchese Gian Francesco Gonzaga, che si segnaleranno per le doti di rettitudine e buongoverno, Federico da Montefeltro, che trasformò Urbino in una delle città più splendide del periodo, Cecilia Gonzaga e Barbara da Brandeburgo. Anche in questo caso il fondamento dell'educazione è fornito dallo studio degli autori classici, ma, a differenza che nella scuola di Guarino, vengono accentuati i momenti etico-religiosi, si recuperano le arti del trivio e del quadrivio e si allargano le attività educative per comprendere anche l'educazione fisica e il gioco.

Fonte: http://www.sapere.it

La quadratura del cerchio e la nascita del sonetto nel Medioevo

Riporto - con estrema curiosità - un articolo "pescato" in rete. 
Si tratta di un lavoro di ricerca svolto dalla classe I del Liceo Scientifico P.M. Vermigli, Ahmad Danilo, Di Gregorio Maria, Ribeiro Joana, Rizzo Antonio, Rosanò Jonny, Romanelli Tommaso, Semere Manuela con la guida della prof.ssa Maria Cristina Pizzichini. Non sono in grado di dire l'anno, ma si tratta del Liceo Vermigli di Zurigo.

Introduzione
I quesiti che hanno turbato maggiormente i sonni degli uomini medievali sono stati quello della quadratura del cerchio e quello della definizione della proporzione aurea, al punto da esserne coinvolti a livello psicologico. Il grande matematico Leonardo Fibonacci, alla corte di Federico II, se ne occupò in maniera assidua. 
Nella quadratura del cerchio si presentano i numeri 11 e 14. Ambedue i numeri sono notevoli nel sonetto, infatti esso è composto da 14 versi ognuno di 11 sillabe. Ma perché sempre e soltanto versi di undici sillabe? Perché sempre e soltanto quattordici versi? 
Lo scopriremo insieme in questo nostro percorso. Andremo a ricercare la risoluzione al problema della quadratura del cerchio, ciò che molti hanno tentato di fare, a partire da Archimede e anche ora prima dalla formula di Ahmes. 

Ci occuperemo anche della magia di questo numero undici e del condizionamento che ha avuto sulle popolazioni medievali, e… siccome siamo in Svizzera vi racconteremo una leggenda della città di Solothurn (Soletta)


La quadratura del cerchio
Questo problema relativo alla quadratura del cerchio ha una storia talmente lunga che non basterebbe un piccolo e semplice lavoro come il nostro per essere descritto.
Anche Dante ne parla nel “Paradiso” ( Divina Commedia III. 3). 
Il problema consiste nel trovare un quadrato di area uguale a quella di un cerchio, ma ciò soltanto nel XIX secolo è stato considerato impossibile da risolvere. Così la ricerca puramente geometrica della soluzione è stata sostituita da una ricerca della natura del rapporto fra l’area e il quadrato del cerchio, cioè sulla natura del numero Π (pigreco).
Possiamo enunciare in termini moderni il problema: affinché un quadrato possa avere la stessa area di un cerchio di raggio r ( e dunque di area Π r ² ) dovrebbe avere per lato la radice quadrata di Π r ², cioè r √Π. La figura metrico-geometrica del cerchio del sonetto, mette in luce una serie di concordanze perfette, osservabili fra le misure del sonetto e le misure del cerchio definito dai valori d=14 q=11. 
Le concordanze in questione riguardano le misure seguenti:



14x11
7x22
(4x22)+(2x33)

I valori 14 e 11 rappresentano:
- le misure metriche basilari della forma poetica che vengono definite da 14x11 e confermate da più di 700 anni di tradizione letteraria;

- le misure di uno dei tre modelli di disposizione grafica del sonetto, il tipo A, secondo il quale i 14 endecasillabi sono disposti l’uno sotto l’altro in una sequenza di 14 versi;
- l’intera geometria del Medioevo risolve il problema della misurazione del cerchio utilizzando i valori 11 e 14 come strumenti di calcolo;

- c’è una corrispondenza numerica strutturale del sonetto;
- la relazione non prova ancora niente per quel che riguarda la concreta corrispondenza fra il cerchio e la forma poetica, però si può dedurre sia stato esso ad ispirarlo.
Nel Medioevo il cerchio era un’immagine geometrica della Creazione. Infatti, lo notiamo nell’iconografia medievale dove vi è il Creatore come architetto.
Ad ispirare la celeberrima struttura del sonetto, si pensa che fu, per l’appunto, l’attività di Fibonacci in concordanza con le Scuole Siciliane alla corte di Federico II . Inoltre, nel pensiero medievale la figura circolare rivela grande importanza come chiave estetica, cosmologica e filosofica.
Data la relazione fra il cerchio d=14 e il modello metrico del sonetto, vi è il termine Sonettkreis (cerchio del sonetto).
Raccogliamo nella seguente tabella le equivalenze numeriche osservabili fra il sonetto e il cerchio sulla base delle misure (14x11) e (7x22):

Uno dei sonetti che maggiormente ci ha ispirato è quello di Pieraccio Tedaldi (ca. 1285-1350)

Qualunque vòl fare un sonetto

e non fusse di ciò bene avvisato,

s‘e‘ vuol esser di questo ammaestrato

apra gli orecchi suoi e lo `ntelletto

Aver vuol quattro piè l‘esser diretto,

e con dua mute, et essere ordinato,

et in parte quartodici appuntato,

e di buona rettorica corretto.

Undici silbe ciascun vuole punto

e le rime perfette vuole avere

e con gentil vocabuli congiunto;

dir bene alla proposta il suo dovere:

e se chi dice sarà d‘amor punto,

dirà più efficace il suo parere.

Undici, il santo numero di Soletta
Come divenne l’undici il numero di Soletta?
C’era una volta un piccolo, solitario, triste paesino di nome Soletta (Solothurn).
Non c’era luce, era completamente buio.
Ma la cosa peggiore è che non c’erano bambini.
Per questo motivo era poco vivace.
Non sapevano cosa volesse dire giocare e non sapevano cosa fosse il divertimento, tutti erano seri e nessuno di loro sapeva cosa volesse dire ridere.
Un giorno, gli abitanti del mondo degli elfi videro in quale situazione si trovava Soletta.
Furono molto scioccati da questa visione, perché il mondo degli elfi era esattamente l’opposto di Soletta.
Vennero allora mandati undici elfi travestiti da bambini dal loro signore. Lungo la strada gli elfi si diedero un nome: “Undici, Divertimento, Gioco, Risata, Felicità, Amore, Collaborazione, Allegria, Morbidezza, Chiarezza e Apertura”.
Gli undici bambini videro già da lontano il villaggio. Fuori non c’era nessuno, era completamente vuoto.
Appena entrarono nel paesino, esso si illuminò.
Quando gli abitanti del villaggio videro questo, corsero fuori. Quando videro i bambini si ricordarono il significato del divertimento avuto.
Celebrarono una festa per gli undici bambini e gli fecero molte domande, per esempio: “Da dove venite?” I bambini risposero: “Veniamo da un mondo in cui i bambini non diventano mai grandi. Questo mondo è pieno di divertimento e siamo venuti qua, per regalarvi undici anni di divertimento e risate!”.
Quando gli abitanti udirono ciò furono doppiamente felici.
Gli anni passarono e la gente divenne più felice.
Le donne incominciarono a procreare.
All’inizio, la gente era triste per il fatto che gli elfi se ne erano andati; ma furono comunque molto felici perché in paese c’erano molti bambini e quindi da un paesino divenne una città.
E poiché fu tutto merito degli elfi, costruirono come ricordo 11 fontane, 11 scale e così via! Per questo il simbolo di Soletta è il numero undici.

Bibliografia
Dizionario di Matematica” di Stella Baruk Zanichelli;
Nascita del Sonetto di Wilhelm Pötters Longo Editore Ravenna;
Leggenda del numero 11 di Irem Bilem dal libro “Leben am Jurasüdf“uss”