La
matematica nel “doppio ritratto” di Luca Pacioli
Diamo un'occhiata agli oggetti sul
tavolo.
1) Il volume chiuso: la Summa.
Si tratta di un dodecaedro in legno
appoggiato su un ponderoso volume con la scritta L[IBER] R[EVERENDI]
LUC[AE] BUR[GENSIS] facilmente identificabile con la Summa de
aritmetica geometria pubblicata a Venezia nel 1494.
I volumi che uscivano dalle stamperie
non necessariamente avevano una legatura, di solito le copie
destinate ad un uso più diretto, come ad esempio quelle per
l'autore, restavano rilegati soltanto con una semplice carta
pergamena, mentre le copie per i personaggi più importanti venivano
confezionate in modo ben più lussuoso. Quindi la ricca legatura
indica quasi certamente che non si tratta della copia del Pacioli, ma
della copia donata al duca, o al personaggio ritratto. I volumi che
uscivano dalle stamperie non avevano legatura, le legature quindi
potevano essere le più semplici in carta pergamena o ricchissime
come vediamo qui.
La Summa porta la dedica a
Guidubaldo da Montefeltro e questo è un buon argomento a favore
dell’identificazione del personaggio col duca urbinate. Sempre
nella Summa troviamo una notizia che riguarda Guidubaldo, cioè
che Pacioli nel 1489 aveva donato al duca modelli dei cinque solidi
regolari: quindi la Summa e il dodecaedro stanno lì a
indicare la comunanza culturale tra il duca e il frate di
Sansepolcro. In realtà nello stesso passo della Summa,
Pacioli dice di aver donato solidi regolari e semiregolari a Pietro
de’ Valentari da Genova vescovo di Carpentras, lasciando aperta la
questione.
2) Il volume aperto: gli Elementi.
Il libro aperto è una copia della
prima edizione degli Elementi di Euclide, Venezia 1482,
l’unica edizione a stampa disponibile all’epoca.
Diversamente dall’altro volume non
presenta una legatura particolare perché, evidentemente si tratta
della copia del Pacioli. Lo si vede, e il pittore lo vuole far
capire, perché riproduce anche le notazioni a margine che non ci
sono nelle copie standard. Va notato che nel 1509 Pacioli pubblica a
Venezia una sua edizione degli Elementi, nel 1495 (anno di
presunta realizzazione del ritratto) ci stava lavorando sopra.
Il testo è aperto a una pagina precisa
e facilmente individuabile, quella con la proposizione VIII del libro
XIII: il quadrato del lato del triangolo equilatero inscritto in una
circonferenza è tre volte il quadrato del semidiametro della
circonferenza. Sotto inizia la proposizione IX: la sezione aurea del
semidiametro di una circonferenza è il lato del decagono regolare
inscritto in essa. L’indice del Pacioli è puntato sull’inizio
della proposizione VIII. Questa è la proposizione in causa.
Considerando l’estrema e voluta cura
con cui il dipinto è eseguito, si nota che la copia degli Elementi
è raffigurata aperta a metà circa, mentre nel libro vero la
proposizione VIII, libro XIII, sta a soli 20 fogli dalla fine: sembra
insomma che nel volume del Pacioli ci fosse un altro testo rilegato
assieme agli Elementi.
3) La lavagnetta.
La presenza della lavagnetta, assieme
al gesso e al cancellino, indica che siamo in piena lezione di
matematica. Nel bordo della lavagnetta è scritto EUCLIDES, sulla
lavagnetta è tracciata una figura geometrica, dei segmenti, dei
numeri.
Partiamo dalla figura geometrica. Si
riferisce chiaramente alla figura che accompagna la proposizione
VIII, ci sono i dati essenziali dell’enunciato cioè la
circonferenza, il semidiametro, il triangolo equilatero inscritto; la
costruzione per la dimostrazione sparisce, ma c’è in più una
linea che parte dal vertice superiore del triangolo e rimane come
sospesa. La domanda è se la figura tracciata da Pacioli è completa,
o se Pacioli l’ha lasciata incompleta volutamente, sfidando chi
guarda a capire.
Sembra che la figura geometrica
tracciata sia incompleta perché Pacioli è colto nel mezzo, e non
alla fine, di una enunciazione.
Se questa interpretazione è corretta,
il quadro diventa una sfida matematica, ovvero, nel pieno spirito del
Pacioli, propone un problema da risolvere, lancia una sfida.
Con una mano Pacioli indica una
proposizione degli Elementi mettendoci in condizione di
identificarla, mentre con la bacchetta indica il segmento tracciato
solo in parte, manca solo la sua voce per dire: e adesso come andiamo
avanti, come mettiamo insieme queste cose, che c’entrano?
Questo è un significato del quadro che
ha le funzioni di ritrarre personaggi illustri, di squadernare un
mondo matematico, di coinvolgere in questo mondo matematico,
proponendo qualcosa d’intrigante, di enigmistico si potrebbe dire.
Proviamo a risolvere il quesito
proposto. Se la linea è incompleta dove va a finire? Ritengo che
debba terminare sulla circonferenza. Certamente la linea incompleta
non finisce nella parte di circonferenza sotto il diametro.
L'ambiguità dovuta al fatto che la circonferenza è vista di
scorcio, lascia aperte due possibilità: il punto della circonferenza
dove termina il segmento incompleto è il punto X dove il
semidiametro DX perpendicolare al diametro AE,
interseca la circonferenza, oppure termina su un punto della
circonferenza più in alto.
4) Prima ipotesi.
Se cade dove cade il diametro, allora
la linea, una volta completata, è il lato del quadrato inscritto
nella circonferenza. Questa mi pare un’ipotesi dotata di buone
ragioni. La prima ragione è la semplicità. Come dice la
proposizione VIII, libro XIII il quadrato del lato del triangolo è
tre volte il quadrato del semidiametro, è una relazione tra il
semidiametro e il lato del triangolo inscritto. Immediato sarebbe
pensare a una relazione tra il semidiametro e il lato del quadrato
inscritto. Da cui si ricava facilmente la relazione tra i lati del
triangolo e del quadrato inscritti nella medesima circonferenza. Se
il quadrato del lato del quadrato è uguale al doppio del quadrato
del semidiametro, allora vale la relazione che il quadrato del lato
del quadrato è i 2/3 del quadrato del lato del triangolo equilatero.
L’ipotesi trova a mio parere una
conferma indiretta dal calcolo numerico sempre sulla lavagna in basso
a destra: 478 + 935 + 621 = 2034.
Conoscendo Pacioli è difficile che i
numeri siano stati presi a caso. A un primo esame non si tratta di
numeri particolari, ad esempio non sono numeri perfetti, numeri
amici, numeri di Fibonacci, ecc. E nemmeno di un quadrato magico.
L’unica diciamo armonia che ho trovato è la seguente: se 621 è il
perimetro di un triangolo equilatero di lato 207, allora 478 è il
perimetro del quadrato costruito sul raggio della circonferenza.
Ovvero nella VIII, XIII Euclide geometra mette in relazione le
superfici, mentre Pacioli che è anche aritmetico e algebrista mette
in relazione numerica casi specifici di perimetri secondo l’uso
dell’ambiente della matematica pratica, ovvero matematica
abachistica, di trattare sempre specifici casi numerici. Anche i tre
segmenti disegnati nell’angolo in alto a sinistra della lavagna
acquistano un senso, rappresenterebbero le tre grandezze in gioco: il
semidiametro, il lato del quadrato e il lato del triangolo
equilatero.
Un ultimo indizio a favore di questa
ipotesi è che il rombicubottaedro appeso è formato da quadrati e da
triangoli equilateri.
5) Seconda ipotesi.
L’altra ipotesi è che il segmento
incompleto cada prima del semidiametro. A mio parere le possibilità
sono due: o il segmento è il lato di un pentagono regolare
inscritto, o cade in un punto speciale che dà luogo a un rapporto
aureo tra i segmenti.
In ordine di plausibilità dopo
l’ipotesi del quadrato a mio parere viene quella del pentagono,
cioè della ricerca delle stesse relazioni di cui sopra, ma tra il
triangolo e il pentagono inscritti nella stessa circonferenza. Il
rapporto tra i quadrati dei rispettivi lati è (5 - √5)/6 che non è
poi più complicato del rapporto della sezione aurea che è (√5 –
1)/2. Teniamo conto che l’altro poliedro è il dodecaedro formato
da 12 pentagoni e che la successiva proposizione IX riguarda proprio
la costruzione del pentagono regolare.
6) Altre ipotesi.
Com'era consuetudine nei testi
dell'epoca, il cerchio non indica una figura piana ma una figura
solida cioè una sfera; il punto di caduta è individuato dividendo
il diametro della sfera in tre parti uguali AH, HK, KE
e mandando da H la perpendicolare ad AE che intercetta
un punto X sulla sfera. Il segmento AX così ottenuto
ha la proprietà di essere lo spigolo del cubo inscritto nella sfera,
e la sezione aurea di questo spigolo è lo spigolo del dodecaedro
inscritto nella medesima sfera. È la proposizione XVII del libro
XIII degli Elementi.
Un’ulteriore ipotesi, senz'altro più
remota perché poco coerente con il contesto del quadro, è sempre
sulla sezione aurea.
Il segmento incompleto, e incompreso,
cade in un punto della circonferenza individuato mediante la
costruzione tipica della sezione aurea. Ovvero AG = AE
e tra loro perpendicolari, si congiunge poi G col centro della
circonferenza D individuando X sulla circonferenza. Si
unisce poi X con E. Vale un rapporto aureo tra i
segmenti così ottenuti:
(AX
+ XE) : XE
= XE : AX.
Questa è una delle proprietà della
sezione aurea che Pacioli elenca nella Divina proportione,
tuttavia mi pare poco per credere che sia questo il caso in
questione.
Infine potrebbe essere che Pacioli ci
sfida a trovare un’altra dimostrazione della proposizione VIII
libro XIII, diversa dalla dimostrazione euclidea. Dato il personaggio
non è da escludere al cento per cento.
