Non solo numeri: E alla ip più uno uguale a zero

venerdì 13 luglio 2012

E alla ip più uno uguale a zero

Qualche tempo fa uno studente un po' sovrappensiero mi chiese: "proff ma come farà lei a studie' utte 'ste robe... e poi 'ste formule brutte...una pegio de quel'altra". In effetti c'è una zona della goniometria in cui le formule la fanno da padrone: riempiono lavagne e quaderni e spesso confondono le idee, soprattutto ad un certo tipo di studente... Risposi allo sventurato:" guarda, che in realtà le formule sono oggetti belli... anzi fra le formule si fanno anche dei veri e propri consorsi da Miss... e adesso ti faccio vedere la formula che è riconosciuta come la più bella di sempre..." e, preso uno spezzoncino di gesso abbastanza lungo da essere impugnato, scrissi la FORMULA DI EULERO:

Mi è rimasta poi una certa inquieta curiosità perché ormai da qualche anno non la vedevo più e k'incontro con una Miss, comunque crea turbamento. Girando in rete, ho scperto un sito dove si trattano questioni matematiche, ovvero: http://ciaoidea.it/L'_identit%C3%A0_di_Eulero.

Da quella pagina ho recuperato l'origine (analitica) della formula, che ripropongo qui sotto, sperando di fare cosa gradita ai miei lettori e diffondendo il lavoro svolto da chi segue e gestisce il sito in questione (http://ciaoidea.it/L'_identit%C3%A0_di_Eulero>).

***********************************

Consideriamo l'equazione

1) $x^2 = -1$

non esiste nessun numero reale che elevato al quadrato restituisca -1, in quanto il quadrato di un numero reale è un numero positivo oppure nullo. Le soluzioni sono

$x = \pm \sqrt {-1}$

essendo $\sqrt {-1}$ un' entità matematica non reale o immaginaria indicata con la lettera i

$i = \sqrt {-1}$

quindi le soluzioni dell'equazione 1) sono

$x = \pm i$

ossia

$i^2 = 1$

se ne deduce quindi che i numeri reali si ottengono da operazioni con numeri immaginari (in questo caso il quadrato dell'unità immaginaria) quindi l'insieme dei numeri reali R non può che essere un sottoinsieme di un insieme ancora più vasto costituito da numeri reali e da numeri immaginari: tale insieme è quello dei numeri complessi C

$R \subset C$

Possiamo definire quindi un numero complesso z come un vettore costituito da una coppia di valori: uno reale (a) e ed uno immaginario (ib) rappresentabile nel Piano di Gauss:

essendo:

$z \in C$

$a,b \in R$

$z=a+ib$

$|z|=\sqrt { a^2 + b^2 } =\rho$

$\theta$ è l'angolo formato tra il vettore z e l'asse reale e valgono quindi le relazioni:

$a= \rho cos \theta$

$b= i\rho sin \theta$

segue :

2) $z=\rho (cos \theta + i sin \theta)$

deriviamo ora z rispetto a $\theta$ per vedere come tale vettore rapidamente varia in funzione di questo angolo:

${ d z \over d \theta }= { d \over d \theta } {\rho (cos \theta + i sin \theta) }$

ipotizzando $\rho$ costante risulta:

${ d z \over d \theta }= {\rho ( -sin \theta + i cos \theta) }$

$d z = {\rho ( -sin \theta + i cos \theta) } d \theta$

$d z = {\rho i ( i sin \theta + cos \theta) } d \theta$

ma ricordando la definizione di z nella 2) risulta:

$d z = i z d \theta$

${ 1 \over z } d z = i d \theta$

sommiamo attraverso un processo di integrazione tutte le microvariazioni di z rispetto a $\theta$ :

3) $\int { 1 \over z } d z = \int { i d } \theta$

$log z = i \theta$

$z = e ^ { i \theta }$

per la 2) risulta:

$\rho (cos \theta + i sin \theta) = e^{ i \theta }$

se $\rho = 1$ otteniamo la formula di Eulero

$e^ { i \theta } = cos \theta + i sin \theta$

se $\theta = \pi$ otteniamo

$e ^ { i \pi } = -1$

questo risultato è facilmente comprensibile: quando l'angolo $\theta$ corrisponde a 180° la punta del vettore complesso coincide nella direzione ma con verso opposto all'asse reale (ved. segno negativo) e con modulo 1

da qui segue la famosa identità di Eulero:

$e ^ { i \pi } + 1 = 0$

L'equazione, elegante e concisa, racchiude ben 5 entità fondamentali della matematica:

- il numero di Nepero o Eulero: ${e}$ - la costante ${ \pi }$ - il numero immaginario ${ i }$ - il numero naturale ${ 1 }$ - il numero naturale ${ 0 }$

La bellezza della matematica risiede nella pluralità delle possibili connessione che un risultato riesce ad evocare. La formula di Eulero mostra una profonda relazione fra le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa. (L'identità di Eulero è un caso particolare della formula di Eulero). Ora visto che i numeri complessi sono un insieme molto più grande dei numeri reali e visto che attraverso questi ultimi è possibile descrivere i fenomeni fisici naturali possiamo concludere che i numeri complessi possono essere utili a descrivere la fisica dei fenomeni in modo più generale e matematicamente più compatto.

***************

Non solo numeri

venerdì 13 luglio 2012

E alla ip più uno uguale a zero

Nessun commento:

Posta un commento

LA GEOMETRIA ELLITTICA – modello di Riemann