Numeri e successioni: riflessioni metamatematiche, storiche e didattiche su di un brano leopardiano (3)

3. L'impostazione intuizionista: i numeri e il conteggio


Faremo quindi riferimento, in questo paragrafo, all'impostazione intuizionista
dell'aritmetica (5) di R.L. Goodstein (1957). Impiegheremo i seguenti simboli:
N operatore di conteggio
a, b, ..., l, ... oggetti
a&b, a&b&c, ..., L, L&a, ... insiemi di oggetti
Definiamo ricorsivamente l'atto del contare (6):
N(l) = 1
N(L&l) = N(l)+1
Sia S l'operatore che porta a considerare il successore (con Sx indicheremo
cioè il successore di x).
L'usuale operazione di addizione:
(a; b) → a+b
è definita ricorsivamente da:
x+0 = x
x+Sy = S(x+y)
Ad esempio, per determinare 6+3 si procede nel modo seguente:
6+0 = 6
6+1 = 7
6+2 = (6+1)+1 = 7+1 = 8
6+3 = (6+2)+1 = 8+1 = 9
La moltiplicazione:
(a; b) → F1(a; b) = a·b
è definita ricorsivamente da:
F1(x; 0) = 0


F1(x; Sy) = x+F1(x; y)
È quindi possibile una definizione ricorsiva di altre operazioni. Per ogni n
naturale, n≥2, definiamo ricorsivamente le operazioni:
Fn(x; 0) = 1
Fn(x; Sy) = Fn–1[x; Fn(x; y)]
Ad esempio, per n = 2 si ottiene la definizione ricorsiva di F2(a; b) = ab
(operazione di esponenziazione) (7):
F2(x; 0) = 1
F2(x; Sy) = F1[x; F2(x; y)] = x·xy
Per n = 3 si ottiene la definizione ricorsiva di un'operazione non usuale, che
possiamo indicare mediante la posizione F3(a; b) = ba:
F3(x; 0) = 1
F3(x; Sy) = F2[x; F2(x; y)] = (yx)x
Risulta ad esempio:
F3(x; 1) = 1x = x
F3(x; 2) = 2x = x^x
F3(x; 1) = 3x = x^x^x