Numeri e successioni: riflessioni metamatematiche, storiche e didattiche su di un brano leopardiano (2)

2. Uno sguardo alla storia:
l'impostazione assiomatica di Peano
Dal punto di vista storico, osserva N. Bourbaki:
«Prima del XIX secolo, pare non vi sia stato alcun tentativo di definire l'addizione
e la moltiplicazione dei numeri naturali se non richiamandosi
direttamente all'intuizione; Leibniz è il solo che, fedele ai propri principi, fa
espressamente notare che delle "verità evidenti" come 2+2 = 4 sono anch'esse
suscettibili di dimostrazione se si riflette sulle definizioni dei numeri che vi
figurano; egli non riteneva affatto come scontata la commutatività
dell'addizione e della moltiplicazione. Ma non spinge oltre le sue riflessioni a
questo proposito, e, verso la metà del XIX secolo, nessun progresso si era
ancora compiuto» (Bourbaki, 1963).
Con il lavoro Sul concetto di numero (1891), Giuseppe Peano (1858-1932),
rielaborando alcune idee introdotte da Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916)
nello scritto Was sind und was sollen die Zahlen? (1888), propose un'introduzione
assiomatica dell'aritmetica basata su tre concetti primitivi (l'unità, che in
una seconda stesura fu sostituita con lo zero; il numero; il successivo) e su sei
assiomi (definitivamente enunciati nel 1898 in Aritmetica, la II parte del II vol.
del Formulaire de mathematiques: Peano, 1908, p. 27; Kennedy, 1983):

Assioma zero. I numeri formano una classe (2).
Assioma I. Lo zero è un numero.
Assioma II. Se a è un numero, il suo successivo a+ è un numero.
Assioma III. Se s è una classe contenente lo zero e, per ogni a, se a appartiene
a s, il successivo a+ appartiene a s,; allora ogni numero naturale è in s
("principio di induzione": si tratta in effetti di uno schema di assiomi: Chang &
Keisler, 1973) (3).
Assioma IV. Se a e b sono due numeri e se i loro successivi a+, b+ sono uguali,
allora a e b sono uguali.
Assioma V. Se a è un numero, il suo successivo a+ non è zero.
L'addizione secondo Peano si basa sulle due condizioni seguenti, date nella
simbologia originale (Peano, 1908, p. 29):
Addizione I. Se a è un numero, a+0 = a.
Addizione II. Se a e b sono due numeri, a+(b+) = (a+b)+.
È evidente la stretta analogia che lega l'introduzione di Goodstein
(presentata nel paragrafo precedente) a questa. Per induzione, quindi, Peano
dimostra che se a, b sono numeri, anche a+b è un numero (si veda: Peano,
1908; alcune dimostrazioni sono riportate in: Carruccio, 1972).
La relazione introdotta da Peano è un'applicazione: a→a+ avente per dominio
l'insieme dei numeri naturali e per codominio l'insieme dei numeri naturali
non nulli, e che è una biiezione. Si può inoltre dimostrare che Peano introduce
nell'insieme dei numeri naturali un ordine stretto.

Possiamo dunque concludere che dall'impostazione peaniana, basata sull'applicazione
che ad ogni numero naturale associa il suo successivo, emerge il
ruolo essenziale del concetto di successione.