Non solo numeri

giovedì 16 agosto 2012

Breve storia della trigonometria

Ripropongo qui un lavoro scolastico, leggero ma ben fatto, reperibile in formato pdf all'URL: http://nuke.pontonio.it/LinkClick.aspx?fileticket=tgF50cFxdWE%3D&tabid=65&mid=402.

Molti studenti imparano (più o meno bene) l'uso delle funzioni goniometriche seno, coseno, tangente... trovandosi davanti un pacchetto di "oggetti matematici" ben strutturato, un "sistema" perfetto di calcolo che lascia sovente disarmati rispetto alle proprie possibilità di interazione rispetto ad esse. Tutt'al più si impara ad utilizzarle, come accade ai migliori studenti del corso Geometri che ho avuto negli ultimi anni. Recuperare la storia di questi "oggetti matematici", permette di scoprirne la complessa genesi e la progressiva formazione del "sistema" goniometrico, così importante in tanti rami della scienza e della tecnica. Ecco perché mi piace valorizzare questo lavoro scolastico, che anzi è spunto per ulteriori interventi in questa direzione. Spero che chi legga queste righe abbia la voglia di lasciare un commento, grazie!

La storia delle funzioni trigonometriche si estende per circa 4000 anni. Vi sono delle prove che indicano che i babilonesi furono i primi ad usare delle primitive funzioni trigonometriche, in base ad una tabella di numeri scritta su una tavola cuneiforme babilonese risalente a circa il 1900 a.C. Vi è, tuttavia, un dibattito ancora aperto sul fatto che essa fosse una tavola trigonometrica o no. Il più antico uso della funzione seno appare nel Sulba Sutras scritto nell'antica India fra VIII e il VI sec. a.C., che calcola correttamente il sin(π / 4) come 1/radq(2) , sebbene non fosse ancora stata sviluppata la nozione di seno in senso generale.

Più tardi, le funzioni trigonometriche furono studiate da Ipparco di Nicea (180-125 a.C.), che tabulò le lunghezze degli archi di circonferenza insieme alla lunghezza delle corde sottese.
Nel II sec. d.C., Claudio Tolomeo (85-165 d.C.) estese questo lavoro nella sua opera Hè Megalè Syntaxis o Almagesto (dall’arabo al-Magesti), derivando formule di addizione e sottrazione equivalenti a sin (α + β e ) cos (α + β) . Tolomeno ricavò, anche, l'equivalente della formula di bisezione ( sin (α / 2 ) ) e stilò una tabella dei suoi risultati. Né le tavole di Ipparco, né quelle di Tolomeo ci sono pervenute, nonostante le descrizioni di altri autori antichi lasciano pochi dubbi sulla loro esistenza.

I successivi importanti sviluppi della trigonometria si ebbero in India. Il matematico e astronomo Aryabhata (476–550 d.C.), nella sua opera Aryabhata-Siddhanta, definì per la prima volta il seno con la relazione moderna. Le sue opere contengono anche le più antiche tavole pervenuteci dei valori del seno da 0° e 90° (per intervalli di 3,75°), con un'accuratezza di 4 cifre decimali.

La parola moderna seno è derivata dalla parola latina sinus, che significa "baia" o "piega", a causa di un errore di traduzione dall'arabo della parola sanscrita jiva, infatti, Aryabhata usava il termine ardha-jiva ("metà-corda"), che venne abbreviato in jiva e quindi translitterato dagli Arabi come jiba.
I traduttori europei Roberto di Chester (XII sec. d.C.) e Gerardo di Cremona (1114-1187 d.C.), nella Toledo del XII sec., confusero jiba per jaib, che significa "baia", probabilmente perché jiba (بج) e jaib (بج) sono scritti allo stesso modo nella scrittura araba, che non fornisce al lettore informazioni sulle vocali.

Altri matematici indiani estesero successivamente i lavori di Aryabhata sulla trigonometria. Le opere indiane furono, in seguito, tradotte ed ampliate dai matematici arabi e persiani. Il matematico persiano Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi (780-850 d.C.) compilò tavole dei seni e delle tangenti e contribuì anche alla trigonometria sferica.
A partire dal X sec., nelle opere di Abu l-Wafa (940-998 d.C.), compaiono già tutte le funzioni trigonometriche principali e le tavole per i seni con incrementi di 0,25° e con una precisione di 8 cifre decimali. Tutte queste opere pionieristiche sulla trigonometria erano legate principalmente alle applicazioni in astronomia.
Suvvessivamente, nel XIII sec., il matematico persiano Nasir al-Din Tusi (1201–1274 d.C.) enunciò la legge dei coseni e ne fornì una dimostrazione. Nell'opera del matematico persiano
Ghiyath al-Kashi (1380-1429 d.C.), vi sono tavole trigonometriche che forniscono i valori della funzione seno con una precisione di 8 cifre decimali per intervalli di 1°.

In Europa, Johannes Müller (latinizzato come Joannes de Regio monte o Regiomontanus, 1436-1476 d.C.) fu forse il primo matematico che si occupò di trigonometria come disciplina matematica distinta, nel suo De triangulis omnimodus scritto nel 1464, come nel suo successivo Tabulae directionum che includeva una funzione equivalente alla moderna tangente, sebbene non venisse nominata esplicitamente.

Nell'Opus palatinum de triangulis di Georg Joachim Rheticus (1514-1576 d.C.), uno studente di Copernico, vengono definite le funzioni trigonometriche direttamente in termini di triangoli rettangoli piuttosto che di cerchi. Quest’opera contiene anche tavole per tutte le funzioni trigonometriche e fu completata dallo studente di Rheticus Valentin Otho (1550-1603 d.C.) nel 1596.

L'Introductio in analysin infinitorum del 1748 di Leonard Euler (1707-1783 d.C.) ebbe il merito di stabilire la moderna trattazione delle funzioni trigonometriche in Europa.

domenica 15 luglio 2012

La Rivoluzione Dimenticata

Non si parla delle rivoluzione in Egitto, Tunisia, Libia dello scorso anno e neppure di Praga, 1968. Si va più lontano, si scava più in profondità...

In questo lungo approfondito saggio Lucio Russo, dell'Università di Roma, descrive la scienza e la matematica nella cultura ellenistica e propone, documenti alla mano, la sua tesi: la scienza moderna non nasce con Galileo e Newton. Le sue origini vanno retrodatate di almeno 2000 anni, alla fine del IV sec. a.C.
La Rivoluzione scientifica del XVIII sec. riscopre la Rivoluzione ellenistica di figure come Euclide, Archimede, Erarstotene, Aristarco di Samo e di tanti altri raffinati scienziati.
Lo studio della "rivoluzione scientifica", cioè della nascita dello sviluppo scientifico, è indispensabile per la comprensione della "civiltà classica".
Inoltre, l'esame del ruolo svolto dalla scienza nella civiltà ellenistica è essenziale per la valutazione di alcune questioni di capitale importanza per la storiografia, dal ruolo di Roma alla decadenza tecnologica medievale alla "rinascita scientifica" moderna.

E' una lettura affascinante che obbliga a smontare e rimontare le idee che un po' tutti noi abbiamo sulla storia della scienza, rivalutando l'opera degli antichi e soprattutto valorizzando un processo carsico di trasmissione delle conoscenze, delle tecniche e dei saperi attraverso il tempo.

Mappa del Mondo secondo Tolomeo, riproduzione del 1496

venerdì 13 luglio 2012

E alla ip più uno uguale a zero

Qualche tempo fa uno studente un po' sovrappensiero mi chiese: "proff ma come farà lei a studie' utte 'ste robe... e poi 'ste formule brutte...una pegio de quel'altra". In effetti c'è una zona della goniometria in cui le formule la fanno da padrone: riempiono lavagne e quaderni e spesso confondono le idee, soprattutto ad un certo tipo di studente... Risposi allo sventurato:" guarda, che in realtà le formule sono oggetti belli... anzi fra le formule si fanno anche dei veri e propri consorsi da Miss... e adesso ti faccio vedere la formula che è riconosciuta come la più bella di sempre..." e, preso uno spezzoncino di gesso abbastanza lungo da essere impugnato, scrissi la FORMULA DI EULERO:

Mi è rimasta poi una certa inquieta curiosità perché ormai da qualche anno non la vedevo più e k'incontro con una Miss, comunque crea turbamento. Girando in rete, ho scperto un sito dove si trattano questioni matematiche, ovvero: http://ciaoidea.it/L'_identit%C3%A0_di_Eulero.

Da quella pagina ho recuperato l'origine (analitica) della formula, che ripropongo qui sotto, sperando di fare cosa gradita ai miei lettori e diffondendo il lavoro svolto da chi segue e gestisce il sito in questione (http://ciaoidea.it/L'_identit%C3%A0_di_Eulero>).

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Consideriamo l'equazione

1) $x^2 = -1$

non esiste nessun numero reale che elevato al quadrato restituisca -1, in quanto il quadrato di un numero reale è un numero positivo oppure nullo. Le soluzioni sono

$x = \pm \sqrt {-1}$

essendo $\sqrt {-1}$ un' entità matematica non reale o immaginaria indicata con la lettera i

$i = \sqrt {-1}$

quindi le soluzioni dell'equazione 1) sono

$x = \pm i$

ossia

$i^2 = 1$

se ne deduce quindi che i numeri reali si ottengono da operazioni con numeri immaginari (in questo caso il quadrato dell'unità immaginaria) quindi l'insieme dei numeri reali R non può che essere un sottoinsieme di un insieme ancora più vasto costituito da numeri reali e da numeri immaginari: tale insieme è quello dei numeri complessi C

$R \subset C$

Possiamo definire quindi un numero complesso z come un vettore costituito da una coppia di valori: uno reale (a) e ed uno immaginario (ib) rappresentabile nel Piano di Gauss:

essendo:

$z \in C$

$a,b \in R$

$z=a+ib$

$|z|=\sqrt { a^2 + b^2 } =\rho$

$\theta$ è l'angolo formato tra il vettore z e l'asse reale e valgono quindi le relazioni:

$a= \rho cos \theta$

$b= i\rho sin \theta$

segue :

2) $z=\rho (cos \theta + i sin \theta)$

deriviamo ora z rispetto a $\theta$ per vedere come tale vettore rapidamente varia in funzione di questo angolo:

${ d z \over d \theta }= { d \over d \theta } {\rho (cos \theta + i sin \theta) }$

ipotizzando $\rho$ costante risulta:

${ d z \over d \theta }= {\rho ( -sin \theta + i cos \theta) }$

$d z = {\rho ( -sin \theta + i cos \theta) } d \theta$

$d z = {\rho i ( i sin \theta + cos \theta) } d \theta$

ma ricordando la definizione di z nella 2) risulta:

$d z = i z d \theta$

${ 1 \over z } d z = i d \theta$

sommiamo attraverso un processo di integrazione tutte le microvariazioni di z rispetto a $\theta$ :

3) $\int { 1 \over z } d z = \int { i d } \theta$

$log z = i \theta$

$z = e ^ { i \theta }$

per la 2) risulta:

$\rho (cos \theta + i sin \theta) = e^{ i \theta }$

se $\rho = 1$ otteniamo la formula di Eulero

$e^ { i \theta } = cos \theta + i sin \theta$

se $\theta = \pi$ otteniamo

$e ^ { i \pi } = -1$

questo risultato è facilmente comprensibile: quando l'angolo $\theta$ corrisponde a 180° la punta del vettore complesso coincide nella direzione ma con verso opposto all'asse reale (ved. segno negativo) e con modulo 1

da qui segue la famosa identità di Eulero:

$e ^ { i \pi } + 1 = 0$

L'equazione, elegante e concisa, racchiude ben 5 entità fondamentali della matematica:

- il numero di Nepero o Eulero: ${e}$ - la costante ${ \pi }$ - il numero immaginario ${ i }$ - il numero naturale ${ 1 }$ - il numero naturale ${ 0 }$

La bellezza della matematica risiede nella pluralità delle possibili connessione che un risultato riesce ad evocare. La formula di Eulero mostra una profonda relazione fra le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa. (L'identità di Eulero è un caso particolare della formula di Eulero). Ora visto che i numeri complessi sono un insieme molto più grande dei numeri reali e visto che attraverso questi ultimi è possibile descrivere i fenomeni fisici naturali possiamo concludere che i numeri complessi possono essere utili a descrivere la fisica dei fenomeni in modo più generale e matematicamente più compatto.

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domenica 22 aprile 2012

L'anamorfosi e il mistero degli Ambasciatori

In questi giorni, mi succede di discutere con studenti e colleghi di prospettiva e matematica, grazie alla mostra "Baskara" ospite presso l'Istituto Tecnico "Franchetti Salviani".

Fra le altre cose c'è un exibit che illustra lì'origine dell'effetto ottico conosciuto come anamorfosi e un'immagine riproduce il particolare del celebre teschio curiosamente riprodotto ai piedi dei personaggi ritratti nel quadro Gli ambasciatori (1533) di Hans Holbein il Giovane.

Ho cercato in rete di saperne di più, perché davvero non riuscivo a capire che c'entrasse un teschio in questo dipinto. Ho trovato tutta una spiegazione in un vecchio articolo (del 2005) del Corriere della Sera, firmato da Pierluigi Panza. Citando la tesi dello storico John North, nel libro Il segreto degli Ambasciatori (Rizzoli, pagine 496), il messaggio nascosto negli Ambasciatori sarebbe religioso: la tela è una difesa del cristianesimo e della divina armonia universale e raffigura una sorta di istantanea della liturgia del Venerdì Santo nella Londra del 1533. Ovvero del rituale cattolico della crocefissione e morte di Gesù Cristo a un millennio e mezzo esatto dalla sua morte. Il messaggio è cifrato e non esplicito perché, proprio in quella primavera, re Enrico VIII - che aveva ottenuto il divorzio per proclama dell' arcivescovo di Canterbury Thomas Cranmer dalla cattolica Caterina d' Aragona - si apprestava a incoronare come regina, il primo giugno, la seducente Anna Bolena, dalla quale aspettava un figlio. Atto, questo, che gli costò la scomunica papale, alla quale seguirono la rottura con la Chiesa cattolica e lo sviluppo del protestantesimo anglicano.

Ecco il link all'articolo completo: http://archiviostorico.corriere.it/2005/ottobre/04/cattolico_mistero_degli_Ambasciatori_co_9_051004026.shtml

Mentre altre informazioni sull'Anamorfismo sono rintracciabili su Wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Anamorfismo

giovedì 8 marzo 2012

Mille cifre decimali per la radice di due. Anzi un milione.

Non tutti i numeri sono razionali.

Ci sono numeri famosi che non sono rappresentabili come frazioni: c'è il famoso Pi greco, o il numero e di Nepero. Ma il più antico irrazionale è quello pitagorico: la radice quadrata di 2.
Ho proposto ai miei studenti della seconda classe del corso Costruzioni Ambiente Territorio di Città di castello di trovare le prime cento cifre decimali di questo numero per verificare che non vi sono ripetizioni, ovvero che radice di due non è un numero decimale periodico. Confermando poca curiosità, nessuno ha svolto il compito assegnato.

Mi sembra necessario precisare qui il risultato (reperibile su Internet), per sfregio ovviamente ne indico mille:

1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 3501384623 0912297024 9248360558 5073721264 4121497099 9358314132 2266592750 5592755799 9505011527 8206057147 0109559971 6059702745 3459686201 4728517418 6408891986 0955232923 0484308714 3214508397 6260362799 5251407989 6872533965 4633180882 9640620615 2583523950 5474575028 7759961729 8355752203 3753185701 1354374603 4084988471 6038689997 0699004815 0305440277 9031645424 7823068492 9369186215 8057846311 1596668713 0130156185 6898723723 5288509264 8612494977 1542183342 0428568606 0146824720 7714358548 7415565706 9677653720 2264854470 1585880162 0758474922 6572260020 8558446652 1458398893 9443709265 9180031138 8246468157 0826301005 9485870400 3186480342 1948972782 9064104507 2636881313 7398552561 1732204024 5091227700 2269411275 7362728049 5738108967 5040183698 6836845072 5799364729 0607629969 4138047565 4823728997 1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112 0249441341 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101 7111168391 6581726889 4197587165 8215212822 9518488472 08969 ....

Per i più curiosi, sul sito della NASA (agenzia spaziale degli Stati Uniti d'America) è possibile leggerne un milione.. ecco il link: http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/sqrt2.1mil

domenica 5 febbraio 2012

"Quadrasi riempiendo il triangolo colle quattro falcate di fuori"

L'immagine qui sopra (autoprodotta in modo artigianale) riproduce il diagramma campione indicato nel precedente post sulla "geometria delle trasformazioni" di Leonardo da Vinci.

Si tratta della settima immagine della prima linea della parte destra del folio 455 del Codice Atlantico. Il testo al di sotto del diagramma campione è il seguente:

"Quadrasi riempiendo il triangolo colle quattro falcate di fuori".

Ho trovato uan buona spiegazione che può far capire il modo di ragionare di Leonardo espresso sinteticamente nella frase precedente.

All'interno del semicerchio di raggio R, si disegnano quattro semicerchi aventi raggio pari a R/2.

Le falcate indicate sono le aree bianche contraddistinte dalla lettera F.

Il testo scritte chiede di "riempire" le aree bianche con le falcate: questo è possibile solo se le aree F e B sono uguali. Spieghiamo perché.

Partendo dall'area del quadrato, è noto (e Leonardo lo sapeva) che essa è proporzionale al quadrato del raggio e lo stesso vale per l'area del semicerchio: la costante di proporzionalità in questo caso risulta (almeno a noi) pari a π/2. Quindi l'area del semicerchio grande è quattro volte l'area di ciascuno dei semicerchi inscritti.

Poiché l'area del segmento circolare dipende solo dal raggio (ancora al quadrato) e dall'angolo formato, che in questo caso è sempre 90°, anche l'area del segmento grande (composta da due falcate F e da due segmenti piccoli B) è quattro volte l'area del segmento circolare piccolo.

Sottraendo, ora, due segmenti piccoli dal segmentto grande, l'area della figura curvilinea che rimane, composta da due falcate è uguale all'area sottratta: dunque l'area della falcata F è uguale all'area del segmento B.

sabato 4 febbraio 2012

Trasformazioni leonardiane nel codice Atlantico: l'intuizione delle proprietà topologiche?

Leonardo utilizza ripetutamente e in varie combinazioni tre tipi di traformazioni curvilinee.

La traslazione: una figura con un lato curvilineo viene traslata in modo da occupare una nuova posizione in modo tale che le due figure si sovrappongano.

Questa tecnica permette a leonardo di trasformare qualsiasi superficie delimitata da due curve identiche in una superficie rettangolare (A=C) ovvero di effettuarne la quadratura.

Le falcate: si ottiene separando un segmento da una data figura (solitamente un triangolo) e riattangolo ad un altro lato, ottenendo una nuova figura curvilinea che ha la stessa area di quella originaria. "Se iio rendo a una superfizie quello che'io le tolsi, ella ritorna nel primo suo essere". Chiama "falcate" questi triangoli curvilineui, molto frequenti nei suoi scritti.

Le deformazioni graduali in strisce continue: le due aree sono uguali se si suddivide il rettangolo in sottili strisce parallele, ciascuna delle quali viene spinta in una nuova posizione, in modo che le due linee verticali si trasformino in linee curve. La dimostrazione rigorosa di tali uguiaglianze richiede il moderno calcolo integrale.

Assieme a queste "costruzioni", Leonardo fece ricorso al teorema di Ippocrate di Chio sulle lunule: risale al V secolo a. C. Il risultato sercondo il quale l'area della lunula è uguale all'area del triangolo ABC. Leonardo incontrò le lunula di Ippocrate nel compendio matematico di Giorgio Valla, pubblicato a Venezia nel 1501 e adioperò tale equivalenza in vari modi.

Nel Codice di Madrid II, folio 107r, noto anche come "il catalogo delle trasformazioni", sono indicate proprio i tre tipi fondamentali di trasformazioni, attraverso alcuni schizzi raccolti nella parte destra del folio.

Possiamo vedere in questo modo d'agire una forma primitiva di studio delle trasformazioni topologiche. Leonardo si soffermò su alcune trasformazioni che avessero la caratteristiche di conservare le aree o, nel caso solido, i volumi delle figure. Chiamò, infatti "equali" le figure trasformate.

La moderna topologia può essere suddivisa in due settori.

Nella topologia degli insiemi di punti, le trasformazioni sono applicazioni continue su figure intese proprio come insiemi di punti.

Nella topologia combinatoria, le trasformazioni operano su figure intese come combinazioni di figure più semplici, uynite fra loro in maniera ordinata.

Leonardo sembra sperimentare entrambi tali approcci.

Cerca la continuità nel folio 107r del Codice di Madrid II, mentre lavora con le combinazioni nel Codice Foster I, folio 7r, dove rappresenta il passaggio da un dodecaedro ad un cubo.

Il foglio doppio del Codice Atlantico, folio 455, è una specie di prospetto generale delle trasformazioni topologiche così come le intendeva Leonardo, che infatti voleva inserirle in un trattato generale che di volta in volta indica come "De quantità continua", "Libro d'equazione" e "De ludo geometrico".

Esso è suddiviso in dieci linee orizzontali, ove sono ordinatamente disposti dei semicerchi (nell'ultima riga anche dei cerchi). Il punto di partenza è sempre un cerchio in cui è iscritto un quadrato e, a seconda di come il cerchio è diviso a metà nascono due diagrammi elementari equivalenti: uno con un triangolo e l'altro con un rettangolo. Le aree bianche sono uguali (ciascuna è la metà del quadrato inscritto) anche le aree ombreggiate devono essere uguali: "Se da cose equali si leva parti equali, il rimanente sia equale".

A questo punto vengono proposte altre figure dentro i due segmenti di cerchio: bisangoli e falcate in particolare. In tutti i casi, comunque, il rapporto fra le aree ombreggiate (equivalwenti ai due segmenti di cerchio) e quelle bianche (equivalenti a metà del quadrato iniziale) resta costante.

Le uguaglianze non sono affatto ovvie, tant'è che Leonardo spiega sotto ogni figura come avvenga il riempimento in successione di alcune parti (scambiando aree bianche e aree ombreggiate) sino a ottenereil mezzo quadrato rettilineo iniziale. "Quadrasi riempiendo le porzioni vacue".

Queste figure in buona sostanza rappresentano vere e proprie equazioni geometriche (o, più esattamente, topologiche) ssulle quali Leonardo concentrò la sua attenziaone a lungo, un po' come nei secoli precedenti i matematici arabi si erano dedicatii a allo studio di una grande varietà di equazioni algebriche.

Ogni diagramma è una equazione e le istruzioni che la accompagnano spiegano i passaggi per quadrare la figura curvilinea. Proprio per questo fra i titoli di quel trattato c'era anche "Libro d'equazione".

Le infinite variazioni delle forme geometriche le cui aree o i cui volumi si conservano sempre, servivano a riprodurre le inesauribili trasmutazioni che avvengono nelle forme viventi in Natura, avendo a disposizioni quantità limitate e costanti di materia.