Leonardo utilizza ripetutamente e in
varie combinazioni tre tipi di traformazioni curvilinee.
La traslazione: una figura con un lato
curvilineo viene traslata in modo da occupare una nuova posizione in
modo tale che le due figure si sovrappongano.
Questa tecnica permette a leonardo di
trasformare qualsiasi superficie delimitata da due curve identiche in
una superficie rettangolare (A=C) ovvero di effettuarne la
quadratura.
Le falcate: si ottiene separando un
segmento da una data figura (solitamente un triangolo) e riattangolo
ad un altro lato, ottenendo una nuova figura curvilinea che ha la
stessa area di quella originaria. "Se iio rendo a una superfizie
quello che'io le tolsi, ella ritorna nel primo suo essere".
Chiama "falcate" questi triangoli curvilineui, molto
frequenti nei suoi scritti.
Le deformazioni graduali in strisce
continue: le due aree sono uguali se si suddivide il rettangolo in
sottili strisce parallele, ciascuna delle quali viene spinta in una
nuova posizione, in modo che le due linee verticali si trasformino in
linee curve. La dimostrazione rigorosa di tali uguiaglianze richiede
il moderno calcolo integrale.
Assieme a queste "costruzioni",
Leonardo fece ricorso al teorema di Ippocrate di Chio sulle lunule:
risale al V secolo a. C. Il risultato sercondo il quale l'area della
lunula è uguale all'area del triangolo ABC. Leonardo incontrò le
lunula di Ippocrate nel compendio matematico di Giorgio Valla,
pubblicato a Venezia nel 1501 e adioperò tale equivalenza in vari
modi.
Nel Codice di Madrid II, folio 107r,
noto anche come "il catalogo delle trasformazioni", sono
indicate proprio i tre tipi fondamentali di trasformazioni,
attraverso alcuni schizzi raccolti nella parte destra del folio.
Possiamo vedere in questo modo d'agire
una forma primitiva di studio delle trasformazioni topologiche.
Leonardo si soffermò su alcune trasformazioni che avessero la
caratteristiche di conservare le aree o, nel caso solido, i volumi
delle figure. Chiamò, infatti "equali" le figure
trasformate.
La moderna topologia può essere
suddivisa in due settori.
Nella topologia degli insiemi di punti,
le trasformazioni sono applicazioni continue su figure intese proprio
come insiemi di punti.
Nella topologia combinatoria, le
trasformazioni operano su figure intese come combinazioni di figure
più semplici, uynite fra loro in maniera ordinata.
Leonardo sembra sperimentare entrambi
tali approcci.
Cerca la continuità nel folio 107r del
Codice di Madrid II, mentre lavora con le combinazioni nel Codice
Foster I, folio 7r, dove rappresenta il passaggio da un dodecaedro ad
un cubo.
Il foglio doppio del Codice Atlantico,
folio 455, è una specie di prospetto generale delle trasformazioni
topologiche così come le intendeva Leonardo, che infatti voleva
inserirle in un trattato generale che di volta in volta indica come
"De quantità continua", "Libro d'equazione" e
"De ludo geometrico".
Esso è suddiviso in dieci linee
orizzontali, ove sono ordinatamente disposti dei semicerchi
(nell'ultima riga anche dei cerchi). Il punto di partenza è sempre
un cerchio in cui è iscritto un quadrato e, a seconda di come il
cerchio è diviso a metà nascono due diagrammi elementari
equivalenti: uno con un triangolo e l'altro con un rettangolo. Le
aree bianche sono uguali (ciascuna è la metà del quadrato
inscritto) anche le aree ombreggiate devono essere uguali: "Se
da cose equali si leva parti equali, il rimanente sia equale".
A questo punto vengono proposte altre
figure dentro i due segmenti di cerchio: bisangoli e falcate in
particolare. In tutti i casi, comunque, il rapporto fra le aree
ombreggiate (equivalwenti ai due segmenti di cerchio) e quelle
bianche (equivalenti a metà del quadrato iniziale) resta costante.
Le uguaglianze non sono affatto ovvie,
tant'è che Leonardo spiega sotto ogni figura come avvenga il
riempimento in successione di alcune parti (scambiando aree bianche
e aree ombreggiate) sino a ottenereil mezzo quadrato rettilineo
iniziale. "Quadrasi riempiendo le porzioni vacue".
Queste figure in buona sostanza
rappresentano vere e proprie equazioni geometriche (o, più
esattamente, topologiche) ssulle quali Leonardo concentrò la sua
attenziaone a lungo, un po' come nei secoli precedenti i matematici
arabi si erano dedicatii a allo studio di una grande varietà di
equazioni algebriche.
Ogni diagramma è una equazione e le
istruzioni che la accompagnano spiegano i passaggi per quadrare la
figura curvilinea. Proprio per questo fra i titoli di quel trattato
c'era anche "Libro d'equazione".
Le infinite variazioni delle forme
geometriche le cui aree o i cui volumi si conservano sempre,
servivano a riprodurre le inesauribili trasmutazioni che avvengono
nelle forme viventi in Natura, avendo a disposizioni quantità
limitate e costanti di materia.
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