Non solo numeri

domenica 16 settembre 2012

Una rilettura: Il codice perduto di Archimede

Sto rileggendo (dopo qualche anno) un libro uscito nel 2007 e relativo alla riscoperta del manoscritto C di Archimede di Siracusa. Eccolo qua:

Reviel Netz e William Noel
Il codice perduto di Archimede
Rizzoli 2007, pp. 424

Nella seconda lettura si trovano meglio molte indicazioni di sicuro interesse, che avevo in gran parte dimenticato. Sarà la nuova maturità dei 40 anni... Condivido quindi le considerazioni di una recensione che avevo all'epoca appuntato (tratta da Galileo: giornale di scienza, all'URL http://www.galileonet.it/articles/4c32e1dc5fc52b3adf0022dc)

Una prima riflessione è sulla fortuna di avere accesso alle opere dell'antichità classica. Prima della nascita della stampa, infatti, l'unico modo per avere una copia di un testo era appunto farne una copia a manoo. Se poi aggiungiamo le distruzioni più o meno volute che nel corso dei secoli hanno falcidiato le biblioteche, arriviamo a capire facilmente come spesso le nostre conoscenze siano più che altro frutto del caso. Prendiamo ad esempio i lavori di Archimede. Nel 1311 tutta la conoscenza diretta che si aveva della sua opera era contenuta in due soli manoscritti, il codice A e il codice B, entrambi appartenenti al papa e databili intorno al decimo secolo. Del codice B si persero immediatamente le tracce, fortunatamente dopo che era stato ricopiato; il codice A svanì nel 1564. Solo nel diciannovesimo secolo si scoprì in un monastero ortodosso in Palestina un terzo codice, sotto forma di palinsesto, che conteneva alcune opere prima a noi sconosciute come il Metodo. Lo studioso danese John Ludwig Heiberg curò una versione, anche se lacunosa visto il pessimo stato di conservazione della pergamena, e anche questa fu una fortuna: il manoscritto sparì nuovamente, per riapparire nel 1997 a un'asta, in condizioni ancora peggiori e addirittura falsificato con le immagini degli evangelisti dipinte sopra alcuni fogli.

“Il codice perduto di Archimede” è la storia degli sforzi di questi ultimi dieci anni per riuscire a leggere anche le parti del testo che Heiberg non poté vedere, perché coperte dalla rilegatura, e delle nuove scoperte che sono state fatte. Gli autori provengono da esperienze completamente diverse: William Noel è il curatore della sezione manoscritti del Walters Museum di Baltimora, dove il codice è custodito per conto del miliardario che l'ha acquistato, menter Reviel Netz è un israeliano, professore di lettere classiche alla Stanford University ed esperto di matematica greca classica letta - o forse occorrerebbe dire "desunta", vista la difficoltà di comprensione dei palinsesti - direttamente negli originali. I due si alternano a raccontare la storia antica e recente del manoscritto, così come tutte le ipotesi che si possono fare sulle conoscenze di Archimede, che sembrano essere maggiori di quanto si potesse credere ancora nel secolo scorso.

È possibile che l'entusiasmo di Netz, che per esempio si dice convinto che il Siracusano sia stata la prima persona a fare matematica combinatoria avendo come unica fonte una quasi illeggibile prima pagina del trattato sullo Stomachion, sia esagerato. Però questo entusiasmo è contagioso, e non solo ci fa capire come la filologia possa essere un campo davvero appassionante, ma ci dà anche alcune informazioni totalmente inaspettate sul modo di pensare degli antichi greci. Per esempio, i diagrammi medievali che accompagnano i testi matematici sono fatti per raffigurare con la maggior precisione possibile le figure di cui si parla: ma il palinsesto ha figure esplicitamente "sbagliate", come i lati dei poligoni inscritti in una circonferenza che non sono segmenti, ma linee curvate verso l'interno. Questo non è il risultato di un'imperizia dell'amanuense; al contrario, i matematici greci cercavano proprio di fare in modo che non ci fosse nulla che fosse "chiaramente visibile", per evitare di fare delle ipotesi errate basandosi solamente sul disegno.

Ma il libro non parla solamente di matematica, c'è anche tanta tecnologi. Per riuscire a tirare fuori informazione da quel povero testo che stava andando a pezzi sono state impiegate tecniche di ogni tipo, dall'analisi spettrale a varie frequenze luminose e nell'ultravioletto per creare immagini a falsi colori fino ad arrivare alla spettrografia a raggi X che permette di scoprire le tracce del ferro contenuto nell'inchiostro usato dall'amanuense, e quindi ottenere un'immagine di quanto era stato coperto dalle miniature aggiunte nel ventesimo secolo: un po' come quando si scoprono le versioni dei quadri prima che il pittore ci dipingesse di nuovo sopra, con la differenza che la precisione richiesta per riuscire a visualizzare le minuscole lettere greche deve essere molto maggiore.

Insomma una cosa da leggere e rileggere...

venerdì 14 settembre 2012

Sono d'accordo con Odifreddi (per una volta)

Quello che segue è un post pubblicato il 28 agosto ultimo scorso da Piergiorgio Odifreddi sul sul blog - ospitato da Repubblica.
Ecco il link:
http://odifreddi.blogautore.repubblica.it/2012/08/28/perche-la-matematica/comment-page-1/

Come premessa devo precisare che a me Odifreddi piace poco in generale, pur essendo un buon divulgatore della mia disciplina, la matematica. In questo caso, però coglie il segno di un handicap culturale che il continente europeo paga rispetto al mondo anglosassone (e orientale): la scarsa diffusione dello studio delle matematiche nelle scuole di base e del secondo ciclo. In Italia, inoltre paghiamo lo scotto pesantissimo di una riforma Gentile che ha ispirato l'educazione per tutto il XX secolo e che tutt'ora fornisce la direttrice dei vari "riordini" scolastici. Quindi, per una volta, viva Odifreddi.

Perché la matematica?

Due settimane fa, l’inserto domenicale del New York Times ha pubblicato un articolo intitolato L’algebra è necessaria? A porsi la domanda non era ovviamente un matematico, o uno scienziato. Bensì, un politologo, preoccupato del fatto che ormai nelle scuole statunitensi la matematica sia diventata un ostacolo obbligatorio, che devono superare tutti coloro che poi vorranno iscriversi a qualunque tipo di corso di laurea all’università, scientifico o umanistico che sia.

“Pure i poeti o i filosofi devono studiare la matematica alle superiori”, si scandalizzava il povero politologo! E il suo argomento era che è giusto far sudare sulle equazioni o i polinomi gli studenti che se lo meritano, perché vogliono diventare ingegneri o fisici. Ma perché mai torturare gli altri, così sensibili, che vogliono invece scrivere versi o dedicarsi alla metafisica? Da noi, queste cose le dicevano Croce e Gentile un secolo fa, e il bel risultato che si ottiene a non far studiare la matematica agli umanisti lo si vede anzitutto dalle loro opere filosofiche, appunto.

Più in generale, non è certamente un caso che la filosofia analitica, che monopolizza il mondo anglosassone, sia così diversa da quella continentale, che domina nella vecchia Europa. Lo standard di rigore adottato dalla prima è infatti contrapposto allo stile letterario della seconda, e la matematica insegna anzitutto proprio quello standard. Questo è il primo motivo per studiarla: perché chi viene forgiato da una logica ferrea, nella quale un solo segno sbagliato può provocare disastri irreparabili, non si accontenterà più dei non sequitur di Heidegger o di Ratzinger, e rimarrà felicemente sordo alle sirene della metafisica filosofica o teologica.

Naturalmente, la ragione ha una sua bellezza. Dunque, il secondo motivo per studiare la matematica è educare l’occhio o l’orecchio della mente, per essere in grado di vederla o sentirla, questa bellezza. In fondo, nessuno si chiede perché si creano e si fruiscono l’arte o la musica: semplicemente, sono espressioni dello spirito umano, che soddisfano ed elevano chi le intende. Ma pochi sanno che c’è tanta bellezza nei progetti di Fidia, nelle fughe di Bach o nei quadri di Kandinsky, quanta ce n’è nei teoremi di Pitagora, di Newton e di Hilbert.

Gli esempi non sono scelti a caso. Perché nell’arte e nella musica ci sono, e ci sono sempre state, correnti razionaliste che parlano lo stesso linguaggio della matematica. E capire e apprezzare i loro prodotti richiede lo stesso grado di istruzione, e lo stesso livello di addestramento, che servono per capire e apprezzare i teoremi e le dimostrazioni. In entrambi i casi, all’insegna del motto che, certe cose, “intender non le può chi non le prova”.

E’ ovvio che certa arte e certa musica, allo stesso modo della matematica, richiedono uno sforzo superiore di quello sufficiente per guardare una pubblicità, orecchiare una canzonetta o leggere un romanzetto. Anche scalare l’Himalaya o le Alpi è più impervio che andare a passeggio, ma solo così si possono conquistare le vette, delle montagne o della cultura. E questo è il terzo motivo per studiare la matematica: perché lo sforzo di concentrazione e lo studio assiduo che sono necessari per fruirla, vengono ampiamente ricompensati dalle altezze intellettuali a cui elevano coloro che li praticano.

Infine, il quarto motivo per studiare la matematica è che serve. Senza le derivate e gli integrali, non avremmo la tecnologia meccanica ed elettromagnetica, dalle automobili ai telefoni. Senza la logica matematica, non ci sarebbero i computer. Senza la teoria dei numeri, i nostri pin sarebbero insicuri. Senza il calcolo tensoriale, i navigatori satellitari non funzionerebbero. Addirittura, senza la geometria non sarebbe stato scoperto il pallone da calcio.

Ma senza tutte queste cose, non saremmo comunque meno uomini, o uomini peggiori. Senza la ragione, la bellezza e la cultura, invece, sì. E’ per questo che la giustificazione utilitaristica, che di solito viene invocata per prima, qui appare non solo come last, ma anche come least: cioè, per ultima, anche in ordine di importanza.

giovedì 16 agosto 2012

Breve storia della trigonometria

Ripropongo qui un lavoro scolastico, leggero ma ben fatto, reperibile in formato pdf all'URL: http://nuke.pontonio.it/LinkClick.aspx?fileticket=tgF50cFxdWE%3D&tabid=65&mid=402.

Molti studenti imparano (più o meno bene) l'uso delle funzioni goniometriche seno, coseno, tangente... trovandosi davanti un pacchetto di "oggetti matematici" ben strutturato, un "sistema" perfetto di calcolo che lascia sovente disarmati rispetto alle proprie possibilità di interazione rispetto ad esse. Tutt'al più si impara ad utilizzarle, come accade ai migliori studenti del corso Geometri che ho avuto negli ultimi anni. Recuperare la storia di questi "oggetti matematici", permette di scoprirne la complessa genesi e la progressiva formazione del "sistema" goniometrico, così importante in tanti rami della scienza e della tecnica. Ecco perché mi piace valorizzare questo lavoro scolastico, che anzi è spunto per ulteriori interventi in questa direzione. Spero che chi legga queste righe abbia la voglia di lasciare un commento, grazie!

La storia delle funzioni trigonometriche si estende per circa 4000 anni. Vi sono delle prove che indicano che i babilonesi furono i primi ad usare delle primitive funzioni trigonometriche, in base ad una tabella di numeri scritta su una tavola cuneiforme babilonese risalente a circa il 1900 a.C. Vi è, tuttavia, un dibattito ancora aperto sul fatto che essa fosse una tavola trigonometrica o no. Il più antico uso della funzione seno appare nel Sulba Sutras scritto nell'antica India fra VIII e il VI sec. a.C., che calcola correttamente il sin(π / 4) come 1/radq(2) , sebbene non fosse ancora stata sviluppata la nozione di seno in senso generale.

Più tardi, le funzioni trigonometriche furono studiate da Ipparco di Nicea (180-125 a.C.), che tabulò le lunghezze degli archi di circonferenza insieme alla lunghezza delle corde sottese.
Nel II sec. d.C., Claudio Tolomeo (85-165 d.C.) estese questo lavoro nella sua opera Hè Megalè Syntaxis o Almagesto (dall’arabo al-Magesti), derivando formule di addizione e sottrazione equivalenti a sin (α + β e ) cos (α + β) . Tolomeno ricavò, anche, l'equivalente della formula di bisezione ( sin (α / 2 ) ) e stilò una tabella dei suoi risultati. Né le tavole di Ipparco, né quelle di Tolomeo ci sono pervenute, nonostante le descrizioni di altri autori antichi lasciano pochi dubbi sulla loro esistenza.

I successivi importanti sviluppi della trigonometria si ebbero in India. Il matematico e astronomo Aryabhata (476–550 d.C.), nella sua opera Aryabhata-Siddhanta, definì per la prima volta il seno con la relazione moderna. Le sue opere contengono anche le più antiche tavole pervenuteci dei valori del seno da 0° e 90° (per intervalli di 3,75°), con un'accuratezza di 4 cifre decimali.

La parola moderna seno è derivata dalla parola latina sinus, che significa "baia" o "piega", a causa di un errore di traduzione dall'arabo della parola sanscrita jiva, infatti, Aryabhata usava il termine ardha-jiva ("metà-corda"), che venne abbreviato in jiva e quindi translitterato dagli Arabi come jiba.
I traduttori europei Roberto di Chester (XII sec. d.C.) e Gerardo di Cremona (1114-1187 d.C.), nella Toledo del XII sec., confusero jiba per jaib, che significa "baia", probabilmente perché jiba (بج) e jaib (بج) sono scritti allo stesso modo nella scrittura araba, che non fornisce al lettore informazioni sulle vocali.

Altri matematici indiani estesero successivamente i lavori di Aryabhata sulla trigonometria. Le opere indiane furono, in seguito, tradotte ed ampliate dai matematici arabi e persiani. Il matematico persiano Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi (780-850 d.C.) compilò tavole dei seni e delle tangenti e contribuì anche alla trigonometria sferica.
A partire dal X sec., nelle opere di Abu l-Wafa (940-998 d.C.), compaiono già tutte le funzioni trigonometriche principali e le tavole per i seni con incrementi di 0,25° e con una precisione di 8 cifre decimali. Tutte queste opere pionieristiche sulla trigonometria erano legate principalmente alle applicazioni in astronomia.
Suvvessivamente, nel XIII sec., il matematico persiano Nasir al-Din Tusi (1201–1274 d.C.) enunciò la legge dei coseni e ne fornì una dimostrazione. Nell'opera del matematico persiano
Ghiyath al-Kashi (1380-1429 d.C.), vi sono tavole trigonometriche che forniscono i valori della funzione seno con una precisione di 8 cifre decimali per intervalli di 1°.

In Europa, Johannes Müller (latinizzato come Joannes de Regio monte o Regiomontanus, 1436-1476 d.C.) fu forse il primo matematico che si occupò di trigonometria come disciplina matematica distinta, nel suo De triangulis omnimodus scritto nel 1464, come nel suo successivo Tabulae directionum che includeva una funzione equivalente alla moderna tangente, sebbene non venisse nominata esplicitamente.

Nell'Opus palatinum de triangulis di Georg Joachim Rheticus (1514-1576 d.C.), uno studente di Copernico, vengono definite le funzioni trigonometriche direttamente in termini di triangoli rettangoli piuttosto che di cerchi. Quest’opera contiene anche tavole per tutte le funzioni trigonometriche e fu completata dallo studente di Rheticus Valentin Otho (1550-1603 d.C.) nel 1596.

L'Introductio in analysin infinitorum del 1748 di Leonard Euler (1707-1783 d.C.) ebbe il merito di stabilire la moderna trattazione delle funzioni trigonometriche in Europa.

domenica 15 luglio 2012

La Rivoluzione Dimenticata

Non si parla delle rivoluzione in Egitto, Tunisia, Libia dello scorso anno e neppure di Praga, 1968. Si va più lontano, si scava più in profondità...

In questo lungo approfondito saggio Lucio Russo, dell'Università di Roma, descrive la scienza e la matematica nella cultura ellenistica e propone, documenti alla mano, la sua tesi: la scienza moderna non nasce con Galileo e Newton. Le sue origini vanno retrodatate di almeno 2000 anni, alla fine del IV sec. a.C.
La Rivoluzione scientifica del XVIII sec. riscopre la Rivoluzione ellenistica di figure come Euclide, Archimede, Erarstotene, Aristarco di Samo e di tanti altri raffinati scienziati.
Lo studio della "rivoluzione scientifica", cioè della nascita dello sviluppo scientifico, è indispensabile per la comprensione della "civiltà classica".
Inoltre, l'esame del ruolo svolto dalla scienza nella civiltà ellenistica è essenziale per la valutazione di alcune questioni di capitale importanza per la storiografia, dal ruolo di Roma alla decadenza tecnologica medievale alla "rinascita scientifica" moderna.

E' una lettura affascinante che obbliga a smontare e rimontare le idee che un po' tutti noi abbiamo sulla storia della scienza, rivalutando l'opera degli antichi e soprattutto valorizzando un processo carsico di trasmissione delle conoscenze, delle tecniche e dei saperi attraverso il tempo.

Mappa del Mondo secondo Tolomeo, riproduzione del 1496

venerdì 13 luglio 2012

E alla ip più uno uguale a zero

Qualche tempo fa uno studente un po' sovrappensiero mi chiese: "proff ma come farà lei a studie' utte 'ste robe... e poi 'ste formule brutte...una pegio de quel'altra". In effetti c'è una zona della goniometria in cui le formule la fanno da padrone: riempiono lavagne e quaderni e spesso confondono le idee, soprattutto ad un certo tipo di studente... Risposi allo sventurato:" guarda, che in realtà le formule sono oggetti belli... anzi fra le formule si fanno anche dei veri e propri consorsi da Miss... e adesso ti faccio vedere la formula che è riconosciuta come la più bella di sempre..." e, preso uno spezzoncino di gesso abbastanza lungo da essere impugnato, scrissi la FORMULA DI EULERO:

Mi è rimasta poi una certa inquieta curiosità perché ormai da qualche anno non la vedevo più e k'incontro con una Miss, comunque crea turbamento. Girando in rete, ho scperto un sito dove si trattano questioni matematiche, ovvero: http://ciaoidea.it/L'_identit%C3%A0_di_Eulero.

Da quella pagina ho recuperato l'origine (analitica) della formula, che ripropongo qui sotto, sperando di fare cosa gradita ai miei lettori e diffondendo il lavoro svolto da chi segue e gestisce il sito in questione (http://ciaoidea.it/L'_identit%C3%A0_di_Eulero>).

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Consideriamo l'equazione

1) $x^2 = -1$

non esiste nessun numero reale che elevato al quadrato restituisca -1, in quanto il quadrato di un numero reale è un numero positivo oppure nullo. Le soluzioni sono

$x = \pm \sqrt {-1}$

essendo $\sqrt {-1}$ un' entità matematica non reale o immaginaria indicata con la lettera i

$i = \sqrt {-1}$

quindi le soluzioni dell'equazione 1) sono

$x = \pm i$

ossia

$i^2 = 1$

se ne deduce quindi che i numeri reali si ottengono da operazioni con numeri immaginari (in questo caso il quadrato dell'unità immaginaria) quindi l'insieme dei numeri reali R non può che essere un sottoinsieme di un insieme ancora più vasto costituito da numeri reali e da numeri immaginari: tale insieme è quello dei numeri complessi C

$R \subset C$

Possiamo definire quindi un numero complesso z come un vettore costituito da una coppia di valori: uno reale (a) e ed uno immaginario (ib) rappresentabile nel Piano di Gauss:

essendo:

$z \in C$

$a,b \in R$

$z=a+ib$

$|z|=\sqrt { a^2 + b^2 } =\rho$

$\theta$ è l'angolo formato tra il vettore z e l'asse reale e valgono quindi le relazioni:

$a= \rho cos \theta$

$b= i\rho sin \theta$

segue :

2) $z=\rho (cos \theta + i sin \theta)$

deriviamo ora z rispetto a $\theta$ per vedere come tale vettore rapidamente varia in funzione di questo angolo:

${ d z \over d \theta }= { d \over d \theta } {\rho (cos \theta + i sin \theta) }$

ipotizzando $\rho$ costante risulta:

${ d z \over d \theta }= {\rho ( -sin \theta + i cos \theta) }$

$d z = {\rho ( -sin \theta + i cos \theta) } d \theta$

$d z = {\rho i ( i sin \theta + cos \theta) } d \theta$

ma ricordando la definizione di z nella 2) risulta:

$d z = i z d \theta$

${ 1 \over z } d z = i d \theta$

sommiamo attraverso un processo di integrazione tutte le microvariazioni di z rispetto a $\theta$ :

3) $\int { 1 \over z } d z = \int { i d } \theta$

$log z = i \theta$

$z = e ^ { i \theta }$

per la 2) risulta:

$\rho (cos \theta + i sin \theta) = e^{ i \theta }$

se $\rho = 1$ otteniamo la formula di Eulero

$e^ { i \theta } = cos \theta + i sin \theta$

se $\theta = \pi$ otteniamo

$e ^ { i \pi } = -1$

questo risultato è facilmente comprensibile: quando l'angolo $\theta$ corrisponde a 180° la punta del vettore complesso coincide nella direzione ma con verso opposto all'asse reale (ved. segno negativo) e con modulo 1

da qui segue la famosa identità di Eulero:

$e ^ { i \pi } + 1 = 0$

L'equazione, elegante e concisa, racchiude ben 5 entità fondamentali della matematica:

- il numero di Nepero o Eulero: ${e}$ - la costante ${ \pi }$ - il numero immaginario ${ i }$ - il numero naturale ${ 1 }$ - il numero naturale ${ 0 }$

La bellezza della matematica risiede nella pluralità delle possibili connessione che un risultato riesce ad evocare. La formula di Eulero mostra una profonda relazione fra le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa. (L'identità di Eulero è un caso particolare della formula di Eulero). Ora visto che i numeri complessi sono un insieme molto più grande dei numeri reali e visto che attraverso questi ultimi è possibile descrivere i fenomeni fisici naturali possiamo concludere che i numeri complessi possono essere utili a descrivere la fisica dei fenomeni in modo più generale e matematicamente più compatto.

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domenica 22 aprile 2012

L'anamorfosi e il mistero degli Ambasciatori

In questi giorni, mi succede di discutere con studenti e colleghi di prospettiva e matematica, grazie alla mostra "Baskara" ospite presso l'Istituto Tecnico "Franchetti Salviani".

Fra le altre cose c'è un exibit che illustra lì'origine dell'effetto ottico conosciuto come anamorfosi e un'immagine riproduce il particolare del celebre teschio curiosamente riprodotto ai piedi dei personaggi ritratti nel quadro Gli ambasciatori (1533) di Hans Holbein il Giovane.

Ho cercato in rete di saperne di più, perché davvero non riuscivo a capire che c'entrasse un teschio in questo dipinto. Ho trovato tutta una spiegazione in un vecchio articolo (del 2005) del Corriere della Sera, firmato da Pierluigi Panza. Citando la tesi dello storico John North, nel libro Il segreto degli Ambasciatori (Rizzoli, pagine 496), il messaggio nascosto negli Ambasciatori sarebbe religioso: la tela è una difesa del cristianesimo e della divina armonia universale e raffigura una sorta di istantanea della liturgia del Venerdì Santo nella Londra del 1533. Ovvero del rituale cattolico della crocefissione e morte di Gesù Cristo a un millennio e mezzo esatto dalla sua morte. Il messaggio è cifrato e non esplicito perché, proprio in quella primavera, re Enrico VIII - che aveva ottenuto il divorzio per proclama dell' arcivescovo di Canterbury Thomas Cranmer dalla cattolica Caterina d' Aragona - si apprestava a incoronare come regina, il primo giugno, la seducente Anna Bolena, dalla quale aspettava un figlio. Atto, questo, che gli costò la scomunica papale, alla quale seguirono la rottura con la Chiesa cattolica e lo sviluppo del protestantesimo anglicano.

Ecco il link all'articolo completo: http://archiviostorico.corriere.it/2005/ottobre/04/cattolico_mistero_degli_Ambasciatori_co_9_051004026.shtml

Mentre altre informazioni sull'Anamorfismo sono rintracciabili su Wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Anamorfismo

giovedì 8 marzo 2012

Mille cifre decimali per la radice di due. Anzi un milione.

Non tutti i numeri sono razionali.

Ci sono numeri famosi che non sono rappresentabili come frazioni: c'è il famoso Pi greco, o il numero e di Nepero. Ma il più antico irrazionale è quello pitagorico: la radice quadrata di 2.
Ho proposto ai miei studenti della seconda classe del corso Costruzioni Ambiente Territorio di Città di castello di trovare le prime cento cifre decimali di questo numero per verificare che non vi sono ripetizioni, ovvero che radice di due non è un numero decimale periodico. Confermando poca curiosità, nessuno ha svolto il compito assegnato.

Mi sembra necessario precisare qui il risultato (reperibile su Internet), per sfregio ovviamente ne indico mille:

1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 3501384623 0912297024 9248360558 5073721264 4121497099 9358314132 2266592750 5592755799 9505011527 8206057147 0109559971 6059702745 3459686201 4728517418 6408891986 0955232923 0484308714 3214508397 6260362799 5251407989 6872533965 4633180882 9640620615 2583523950 5474575028 7759961729 8355752203 3753185701 1354374603 4084988471 6038689997 0699004815 0305440277 9031645424 7823068492 9369186215 8057846311 1596668713 0130156185 6898723723 5288509264 8612494977 1542183342 0428568606 0146824720 7714358548 7415565706 9677653720 2264854470 1585880162 0758474922 6572260020 8558446652 1458398893 9443709265 9180031138 8246468157 0826301005 9485870400 3186480342 1948972782 9064104507 2636881313 7398552561 1732204024 5091227700 2269411275 7362728049 5738108967 5040183698 6836845072 5799364729 0607629969 4138047565 4823728997 1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112 0249441341 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101 7111168391 6581726889 4197587165 8215212822 9518488472 08969 ....

Per i più curiosi, sul sito della NASA (agenzia spaziale degli Stati Uniti d'America) è possibile leggerne un milione.. ecco il link: http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/sqrt2.1mil