Il problema di Monty Hall. Visto sul film "21"...

Da poco ho visto 21, un film ispirato a una storia vera che racconta di alcuni ragazzi del MIT che formano un team di blackjack, sbancando Las Vegas ogni week-end (grazie al metodo del conteggio delle carte. Non provateci o vi ritroverete in mutande prima di subito… non perché il metodo non funzioni, tutt’altro, ma perché mettero in atto non è cosa da poco). Ebbene, durante il film Kevin Spacey (che interpreta un professore universitario) pone il seguente quesito al suo studente migliore:

Supponi di partecipare a un gioco a premi, in cui puoi scegliere tra tre porte: dietro una di esse c’è un’automobile, dietro le altre, capre. Scegli una porta, diciamo la numero 1, e il conduttore del gioco a premi, che sa cosa si nasconde dietro ciascuna porta, ne apre un’altra, diciamo la 3, rivelando una capra. Quindi ti domanda: “Vorresti scegliere la numero 2?”

Lo studente migliore, ovviamente, risponde di si, in quanto cambiando la scelta le sue probabilità di vincere salgono dal 33% al 66%. Onestamente non sono riuscito a capire subito il perché, ma ho studiato 

Ecco, quindi le motivazioni:

Spiegazione “logica” (da Wikipedia)
Ci sono tre scenari possibili, ciascuno avente probabilità 1/3:

• Il giocatore sceglie la capra numero 1. Il conduttore sceglie l’altra capra. Cambiando, il giocatore vince l’auto.
• Il giocatore sceglie la capra numero 2. Il conduttore sceglie l’altra capra. Cambiando, il giocatore vince l’auto.
• Il giocatore sceglie l’auto. Il conduttore sceglie una capra, non importa quale. Cambiando, il giocatore trova l’altra capra.

Nei primi due scenari, cambiando il giocatore vince l’auto; nel terzo scenario il giocatore che cambia non vince. Dal momento che la strategia “cambiare” porta alla vittoria in due casi su tre, le chance di vittoria adottando il cambio sono 2/3 (66%).

Diagramma di Eulero-Venn (da Wikipedia)
Dopo aver scelto la porta 1, per esempio, il giocatore ha probabilità 1/3 di aver selezionato la porta con l’auto, il che assegna una probabilità pari a 2/3 alle due porte restanti. Si osservi che c’è una probabilità pari a 1 di trovare una capra dietro almeno una delle due porte non selezionate dal giocatore, dal momento che c’è una sola auto in palio.
Si supponga che il conduttore apra la porta 3. Dal momento che può solo aprire una porta che nasconde una capra, e non apre una porta a caso, questa informazione non ha effetto sulla probabilità che l’auto sia dietro la porta originariamente selezionata, che resta pari a 1/3. Ma l’auto non è dietro la porta 3, dunque l’intera probabilità di 2/3 delle due porte non selezionate dal giocatore è ora assegnata alla sola porta 2, come mostrato sotto. Un modo alternativo per arrivare a questa conclusione è osservare che se l’auto si trova dietro la porta 2 o dietro la porta 3, aprire la porta 3 implica che l’auto si trova dietro la 2.

Teorema di Bayes (fatta da me medesimo)
Applichiamo ora il simpatico teorema di Bayes che più di tutti può dimostrare che quello che vi ho detto non arriva da ctrl-c ctrl-v. Per chiunque fosse a digiuno ecco un piccolo ripasso.
- Sia P(S) la probabilità che la preposizione S sia vera in assenza di ogni altra informazione. P(S) è conosciuta come probabilità a priori.

- Supponiamo di ottenere un’informazione E. P(S|E) è la probabilità che sia vera S sapendo E. Questa è chiamata probabilità a posteriori o probabilità condizionata (sapere S partendo da E).
- Sia P(E) la probabilità che E sia vera senza sapere nulla di S.
- Sia P(E|S) la probabilità che E sia vera sapendo che anche S lo sia.
- Il rapporto P(E|S)/P(E) è chiamato rapporto di verosimiglianza (likelihood ratio, LR) di E dato S.
- Il Teorema di Bayes ci dice che la probabilità a posteriori P(S|E) deriva dalla probabilità a priori P(S) moltiplicata per il LR di E dato S, ovvero:

P(S|E) = P(S) x P(E|S) / P(E)

Quando applichiamo Bayes al problema di Monty Hall sappiamo che la probabilità a priori di trovare la macchina dietro una delle 3 porte è uguale a 1/3. Ovvero, chiamiamo le tre porte A, B e C. P(A) = 1/3, P(B) = 1/3 e P(C) = 1/3. Ora, scegliamo la porta A e il conduttore apre la porta C, rivelandoci che dietro di essa c’è una capra. Dobbiamo modificare le assunzioni basandoci sull’informazione che abbiamo appena acquisito, ovvero che P(C) = 0.
Chiamiamo E l’informazione che dietro la porta C non ci sono premi, ottenuta quando Monty la apre. Otteniamo che:

P(A|E) = P(A) x P(E|A) / P(E) (probabilità che il premio sia dietro A, sapendo E)

P(B|E) = P(B) x P(E|B) / P(E) (probabilità che il premio sia dietro B, sapendo E)

Calcoliamo le varie probabilità che ci servono in queste due formule.

• P(A) = P(B) = 1/3.
• P(E|A) = 1/2 (probabilità di aprire C e rilevare una capra avendo scelto A ed essendoci dietro questa porta il premio). E’ immediato constatare che se il premio è dietro la porta A Monty può scegliere la porta B o la porta C con euguale probabilità; tanto ci saranno solo capre.
• P(E|B) = 1 (probabilità di aprire C e rilevare una capra avendo scelto A e non essendoci la macchina dietro questa porta – il premio è dietro B). E’ immediato constatare che se il premio non è dietro A e Monty apre la C il premio è dietro la porta B, quindi Monty deve aprire la porta C con probabilità 1.
• P(E|C) = 0 la probabilità di aprire C sapendo che il premio è dietro C è, ovviamente 0.

Essendo A, B e C mutualmente esclusive esauriscono tutte le possibilità, quindi è possibile applicare la regola della probabilità totale:

P(E) = P(A)*P(E|A) + P(B)*P(E|B) + P(C)*P(E|C) = (1/3) * (1/2) + (1/3) * (1) + (1/3) * 0 = 1/2

Applicando Bayes:

P(A|E) = P(A) x P(E|A) / P(E) = (1/3) x (1/2) / (1/2) = 1/3

P(B|E) = P(B) x P(E|B) / P(E) = (1/3) x (1) / (1/2) = 2/3

Di conseguenza, se vi capita, cambiate porta!