Numeri e successioni: riflessioni metamatematiche, storiche e didattiche su di un brano leopardiano (1)

di GIORGIO TOMASO BAGNI


1. Zibaldone di pensieri, 28 novembre 1820
Scriveva il ventiduenne Giacomo Leopardi:
«L'uomo senza la cognizione di una favella, non può concepire l'idea di un
numero determinato. Immaginatevi di contare trenta o quaranta pietre,
senz'avere una denominazione da dare a ciascheduna, vale a dire, una, due, tre,
fino all'ultima denominazione, cioè trenta o quaranta, la quale contiene la
somma di tutte le pietre, e desta un'idea che può essere abbracciata tutta in uno
stesso tempo dall'intelletto e dalla memoria, essendo complessiva ma definita
ed intera. Voi nel detto caso, non mi saprete dire, né concepirete in nessun
modo fra voi stesso la quantità precisa delle dette pietre; perché quando siete
arrivato all'ultima, per sapere e concepire detta quantità, bisogna che l'intelletto
concepisca, e la memoria abbia presenti in uno stesso momento tutti
gl'individui di essa quantità, la qual cosa è impossibile all'uomo. Neanche
giova l'aiuto dell'occhio, perché volendo sapere il numero di alcuni oggetti
presenti, e non sapendo contarli, è necessaria la stessa operazione simultanea e
individuale della memoria. E così se tu non sapessi fuorché una sola
denominazione numerica, e contando non potessi dir altro che uno, uno, uno;
per quanta attenzione vi ponessi, affine di raccogliere progressivamente
coll'animo e la memoria, la somma precisa di queste unità, fino all'ultimo; tu
saresti sempre nello stesso caso. Così se non sapessi altro che due
denominazioni ecc. Eccetto una piccolissima quantità, come cinque o sei, che
la memoria e l'intelletto può concepire senza favella, perché arriva ad aver
presenti simultaneamente tutti i pochi individui di essa quantità... In genere
l'idea precisa del numero, o coll'aiuto della favella o senza, non è mai
istantanea, ma composta di successione, più o meno lunga, più o meno
difficile, secondo la misura della quantità» (da Zibaldone di pensieri, 28
novembre 1820: Leopardi, 1969).
Questo brano suggerisce alcune riflessioni sul concetto di numero naturale.

Innanzitutto, appare evidente la centrale importanza che l'Autore attribuisce
al linguaggio (1). Già dall'esordio («L'uomo senza la cognizione di una favella,
non può concepire l'idea di un numero determinato»), infatti, Leopardi si riferisce
esplicitamente al ruolo essenziale della denominazione dei singoli numeri
naturali: è grazie alla «denominazione» che possiamo numerare gli elementi di
un insieme finito (ovvero che possiamo identificare, progressivamente, i suoi
sottoinsiemi di cardinalità crescente) fino a giungere all'indicazione della
totalità (a fissare «un'idea che può essere abbracciata tutta in uno stesso tempo
dall'intelletto e dalla memoria, essendo complessiva ma definita ed intera»).
Questa concezione numerica è dunque strettamente legata al conteggio, all'atto
di enumerare: il ruolo della «favella» viene ad essere decisivo proprio in
quanto consente lo svolgersi della corretta esecuzione pratica di tale atto («E
così se tu non sapessi fuorché una sola denominazione numerica, e contando
non potessi dir altro che uno, uno, uno...»). Leopardi, verso la fine del brano citato,
riconosce chiaramente che il concetto stesso di numero, mediante (ed oltre)
la successione delle «denominazioni», si lega inscindibilmente al
conteggio («L'idea precisa del numero, o coll'aiuto della favella o senza, non è
mai istantanea, ma composta di successione») (Borgato & Pepe, 1998).
Questa considerazione può essere modernamente ripresa ed approfondita
con l'esame di alcune impostazioni dell'aritmetica, che come vedremo basano
le proprie radici sull'introduzione ricorsiva.