domenica 5 febbraio 2012

"Quadrasi riempiendo il triangolo colle quattro falcate di fuori"



L'immagine qui sopra (autoprodotta in modo artigianale) riproduce il diagramma campione indicato nel precedente post sulla "geometria delle trasformazioni" di Leonardo da Vinci. 
Si tratta della settima immagine della prima linea della parte destra del folio 455 del Codice Atlantico. Il testo al di sotto del diagramma campione è il seguente: 
"Quadrasi riempiendo il triangolo colle quattro falcate di fuori".
Ho trovato uan buona spiegazione che può far capire il modo di ragionare di Leonardo espresso sinteticamente nella frase precedente.
All'interno del semicerchio di raggio R, si disegnano quattro semicerchi aventi raggio pari a R/2. 
Le falcate indicate sono le aree bianche contraddistinte dalla lettera F.
Il testo scritte chiede di "riempire"  le aree bianche con le falcate: questo è possibile solo se le aree F e B sono uguali. Spieghiamo perché.
Partendo dall'area del quadrato, è noto (e Leonardo lo sapeva) che essa è proporzionale al quadrato del raggio e lo stesso vale per l'area del semicerchio: la costante di proporzionalità in questo caso risulta (almeno a noi) pari a π/2. Quindi l'area del semicerchio grande è quattro volte l'area di ciascuno dei semicerchi inscritti.
Poiché l'area del segmento circolare dipende solo dal raggio (ancora al quadrato) e dall'angolo formato, che in questo caso è sempre 90°, anche l'area del segmento grande (composta da due falcate F e da due segmenti piccoli B) è quattro volte l'area del segmento circolare piccolo.
Sottraendo, ora, due segmenti piccoli dal segmentto grande, l'area della figura curvilinea che rimane, composta da due falcate è uguale all'area sottratta: dunque l'area della falcata F è uguale all'area del segmento B.






sabato 4 febbraio 2012

Trasformazioni leonardiane nel codice Atlantico: l'intuizione delle proprietà topologiche?


Leonardo utilizza ripetutamente e in varie combinazioni tre tipi di traformazioni curvilinee.
La traslazione: una figura con un lato curvilineo viene traslata in modo da occupare una nuova posizione in modo tale che le due figure si sovrappongano.
Questa tecnica permette a leonardo di trasformare qualsiasi superficie delimitata da due curve identiche in una superficie rettangolare (A=C) ovvero di effettuarne la quadratura.
Le falcate: si ottiene separando un segmento da una data figura (solitamente un triangolo) e riattangolo ad un altro lato, ottenendo una nuova figura curvilinea che ha la stessa area di quella originaria. "Se iio rendo a una superfizie quello che'io le tolsi, ella ritorna nel primo suo essere". Chiama "falcate" questi triangoli curvilineui, molto frequenti nei suoi scritti.
Le deformazioni graduali in strisce continue: le due aree sono uguali se si suddivide il rettangolo in sottili strisce parallele, ciascuna delle quali viene spinta in una nuova posizione, in modo che le due linee verticali si trasformino in linee curve. La dimostrazione rigorosa di tali uguiaglianze richiede il moderno calcolo integrale.
Assieme a queste "costruzioni", Leonardo fece ricorso al teorema di Ippocrate di Chio sulle lunule: risale al V secolo a. C. Il risultato sercondo il quale l'area della lunula è uguale all'area del triangolo ABC. Leonardo incontrò le lunula di Ippocrate nel compendio matematico di Giorgio Valla, pubblicato a Venezia nel 1501 e adioperò tale equivalenza in vari modi.



Nel Codice di Madrid II, folio 107r, noto anche come "il catalogo delle trasformazioni", sono indicate proprio i tre tipi fondamentali di trasformazioni, attraverso alcuni schizzi raccolti nella parte destra del folio.
Possiamo vedere in questo modo d'agire una forma primitiva di studio delle trasformazioni topologiche. Leonardo si soffermò su alcune trasformazioni che avessero la caratteristiche di conservare le aree o, nel caso solido, i volumi delle figure. Chiamò, infatti "equali" le figure trasformate.
La moderna topologia può essere suddivisa in due settori.
Nella topologia degli insiemi di punti, le trasformazioni sono applicazioni continue su figure intese proprio come insiemi di punti.
Nella topologia combinatoria, le trasformazioni operano su figure intese come combinazioni di figure più semplici, uynite fra loro in maniera ordinata.
Leonardo sembra sperimentare entrambi tali approcci.
Cerca la continuità nel folio 107r del Codice di Madrid II, mentre lavora con le combinazioni nel Codice Foster I, folio 7r, dove rappresenta il passaggio da un dodecaedro ad un cubo.

Il foglio doppio del Codice Atlantico, folio 455, è una specie di prospetto generale delle trasformazioni topologiche così come le intendeva Leonardo, che infatti voleva inserirle in un trattato generale che di volta in volta indica come "De quantità continua", "Libro d'equazione" e "De ludo geometrico".
Esso è suddiviso in dieci linee orizzontali, ove sono ordinatamente disposti dei semicerchi (nell'ultima riga anche dei cerchi). Il punto di partenza è sempre un cerchio in cui è iscritto un quadrato e, a seconda di come il cerchio è diviso a metà nascono due diagrammi elementari equivalenti: uno con un triangolo e l'altro con un rettangolo. Le aree bianche sono uguali (ciascuna è la metà del quadrato inscritto) anche le aree ombreggiate devono essere uguali: "Se da cose equali si leva parti equali, il rimanente sia equale".


A questo punto vengono proposte altre figure dentro i due segmenti di cerchio: bisangoli e falcate in particolare. In tutti i casi, comunque, il rapporto fra le aree ombreggiate (equivalwenti ai due segmenti di cerchio) e quelle bianche (equivalenti a metà del quadrato iniziale) resta costante.
Le uguaglianze non sono affatto ovvie, tant'è che Leonardo spiega sotto ogni figura come avvenga il riempimento in successione di alcune parti (scambiando aree bianche e aree ombreggiate) sino a ottenereil mezzo quadrato rettilineo iniziale. "Quadrasi riempiendo le porzioni vacue".

Queste figure in buona sostanza rappresentano vere e proprie equazioni geometriche (o, più esattamente, topologiche) ssulle quali Leonardo concentrò la sua attenziaone a lungo, un po' come nei secoli precedenti i matematici arabi si erano dedicatii a allo studio di una grande varietà di equazioni algebriche.
Ogni diagramma è una equazione e le istruzioni che la accompagnano spiegano i passaggi per quadrare la figura curvilinea. Proprio per questo fra i titoli di quel trattato c'era anche "Libro d'equazione".
Le infinite variazioni delle forme geometriche le cui aree o i cui volumi si conservano sempre, servivano a riprodurre le inesauribili trasmutazioni che avvengono nelle forme viventi in Natura, avendo a disposizioni quantità limitate e costanti di materia.

LA GEOMETRIA ELLITTICA – modello di Riemann

Questa geometria si ottiene sostituendo al quinto postulato di Euclide il seguente : “Ogni retta  s  passante per il punto P incontra sempre...