La matematica nel “doppio ritratto” di Luca Pacioli

La matematica nel “doppio ritratto” di Luca Pacioli

Diamo un'occhiata agli oggetti sul tavolo.

1) Il volume chiuso: la Summa.

Si tratta di un dodecaedro in legno appoggiato su un ponderoso volume con la scritta L[IBER] R[EVERENDI] LUC[AE] BUR[GENSIS] facilmente identificabile con la Summa de aritmetica geometria pubblicata a Venezia nel 1494.

I volumi che uscivano dalle stamperie non necessariamente avevano una legatura, di solito le copie destinate ad un uso più diretto, come ad esempio quelle per l'autore, restavano rilegati soltanto con una semplice carta pergamena, mentre le copie per i personaggi più importanti venivano confezionate in modo ben più lussuoso. Quindi la ricca legatura indica quasi certamente che non si tratta della copia del Pacioli, ma della copia donata al duca, o al personaggio ritratto. I volumi che uscivano dalle stamperie non avevano legatura, le legature quindi potevano essere le più semplici in carta pergamena o ricchissime come vediamo qui.

La Summa porta la dedica a Guidubaldo da Montefeltro e questo è un buon argomento a favore dell’identificazione del personaggio col duca urbinate. Sempre nella Summa troviamo una notizia che riguarda Guidubaldo, cioè che Pacioli nel 1489 aveva donato al duca modelli dei cinque solidi regolari: quindi la Summa e il dodecaedro stanno lì a indicare la comunanza culturale tra il duca e il frate di Sansepolcro. In realtà nello stesso passo della Summa, Pacioli dice di aver donato solidi regolari e semiregolari a Pietro de’ Valentari da Genova vescovo di Carpentras, lasciando aperta la questione.

2) Il volume aperto: gli Elementi.

Il libro aperto è una copia della prima edizione degli Elementi di Euclide, Venezia 1482, l’unica edizione a stampa disponibile all’epoca.

Diversamente dall’altro volume non presenta una legatura particolare perché, evidentemente si tratta della copia del Pacioli. Lo si vede, e il pittore lo vuole far capire, perché riproduce anche le notazioni a margine che non ci sono nelle copie standard. Va notato che nel 1509 Pacioli pubblica a Venezia una sua edizione degli Elementi, nel 1495 (anno di presunta realizzazione del ritratto) ci stava lavorando sopra.

Il testo è aperto a una pagina precisa e facilmente individuabile, quella con la proposizione VIII del libro XIII: il quadrato del lato del triangolo equilatero inscritto in una circonferenza è tre volte il quadrato del semidiametro della circonferenza. Sotto inizia la proposizione IX: la sezione aurea del semidiametro di una circonferenza è il lato del decagono regolare inscritto in essa. L’indice del Pacioli è puntato sull’inizio della proposizione VIII. Questa è la proposizione in causa.

Considerando l’estrema e voluta cura con cui il dipinto è eseguito, si nota che la copia degli Elementi è raffigurata aperta a metà circa, mentre nel libro vero la proposizione VIII, libro XIII, sta a soli 20 fogli dalla fine: sembra insomma che nel volume del Pacioli ci fosse un altro testo rilegato assieme agli Elementi.

3) La lavagnetta.

La presenza della lavagnetta, assieme al gesso e al cancellino, indica che siamo in piena lezione di matematica. Nel bordo della lavagnetta è scritto EUCLIDES, sulla lavagnetta è tracciata una figura geometrica, dei segmenti, dei numeri.

Partiamo dalla figura geometrica. Si riferisce chiaramente alla figura che accompagna la proposizione VIII, ci sono i dati essenziali dell’enunciato cioè la circonferenza, il semidiametro, il triangolo equilatero inscritto; la costruzione per la dimostrazione sparisce, ma c’è in più una linea che parte dal vertice superiore del triangolo e rimane come sospesa. La domanda è se la figura tracciata da Pacioli è completa, o se Pacioli l’ha lasciata incompleta volutamente, sfidando chi guarda a capire.

Sembra che la figura geometrica tracciata sia incompleta perché Pacioli è colto nel mezzo, e non alla fine, di una enunciazione.

Se questa interpretazione è corretta, il quadro diventa una sfida matematica, ovvero, nel pieno spirito del Pacioli, propone un problema da risolvere, lancia una sfida.

Con una mano Pacioli indica una proposizione degli Elementi mettendoci in condizione di identificarla, mentre con la bacchetta indica il segmento tracciato solo in parte, manca solo la sua voce per dire: e adesso come andiamo avanti, come mettiamo insieme queste cose, che c’entrano?

Questo è un significato del quadro che ha le funzioni di ritrarre personaggi illustri, di squadernare un mondo matematico, di coinvolgere in questo mondo matematico, proponendo qualcosa d’intrigante, di enigmistico si potrebbe dire.

Proviamo a risolvere il quesito proposto. Se la linea è incompleta dove va a finire? Ritengo che debba terminare sulla circonferenza. Certamente la linea incompleta non finisce nella parte di circonferenza sotto il diametro. L'ambiguità dovuta al fatto che la circonferenza è vista di scorcio, lascia aperte due possibilità: il punto della circonferenza dove termina il segmento incompleto è il punto X dove il semidiametro DX perpendicolare al diametro AE, interseca la circonferenza, oppure termina su un punto della circonferenza più in alto.

4) Prima ipotesi.

Se cade dove cade il diametro, allora la linea, una volta completata, è il lato del quadrato inscritto nella circonferenza. Questa mi pare un’ipotesi dotata di buone ragioni. La prima ragione è la semplicità. Come dice la proposizione VIII, libro XIII il quadrato del lato del triangolo è tre volte il quadrato del semidiametro, è una relazione tra il semidiametro e il lato del triangolo inscritto. Immediato sarebbe pensare a una relazione tra il semidiametro e il lato del quadrato inscritto. Da cui si ricava facilmente la relazione tra i lati del triangolo e del quadrato inscritti nella medesima circonferenza. Se il quadrato del lato del quadrato è uguale al doppio del quadrato del semidiametro, allora vale la relazione che il quadrato del lato del quadrato è i 2/3 del quadrato del lato del triangolo equilatero.

L’ipotesi trova a mio parere una conferma indiretta dal calcolo numerico sempre sulla lavagna in basso a destra: 478 + 935 + 621 = 2034.

Conoscendo Pacioli è difficile che i numeri siano stati presi a caso. A un primo esame non si tratta di numeri particolari, ad esempio non sono numeri perfetti, numeri amici, numeri di Fibonacci, ecc. E nemmeno di un quadrato magico. L’unica diciamo armonia che ho trovato è la seguente: se 621 è il perimetro di un triangolo equilatero di lato 207, allora 478 è il perimetro del quadrato costruito sul raggio della circonferenza. Ovvero nella VIII, XIII Euclide geometra mette in relazione le superfici, mentre Pacioli che è anche aritmetico e algebrista mette in relazione numerica casi specifici di perimetri secondo l’uso dell’ambiente della matematica pratica, ovvero matematica abachistica, di trattare sempre specifici casi numerici. Anche i tre segmenti disegnati nell’angolo in alto a sinistra della lavagna acquistano un senso, rappresenterebbero le tre grandezze in gioco: il semidiametro, il lato del quadrato e il lato del triangolo equilatero.

Un ultimo indizio a favore di questa ipotesi è che il rombicubottaedro appeso è formato da quadrati e da triangoli equilateri.

5) Seconda ipotesi.

L’altra ipotesi è che il segmento incompleto cada prima del semidiametro. A mio parere le possibilità sono due: o il segmento è il lato di un pentagono regolare inscritto, o cade in un punto speciale che dà luogo a un rapporto aureo tra i segmenti.

In ordine di plausibilità dopo l’ipotesi del quadrato a mio parere viene quella del pentagono, cioè della ricerca delle stesse relazioni di cui sopra, ma tra il triangolo e il pentagono inscritti nella stessa circonferenza. Il rapporto tra i quadrati dei rispettivi lati è (5 - √5)/6 che non è poi più complicato del rapporto della sezione aurea che è (√5 – 1)/2. Teniamo conto che l’altro poliedro è il dodecaedro formato da 12 pentagoni e che la successiva proposizione IX riguarda proprio la costruzione del pentagono regolare.

6) Altre ipotesi.

Com'era consuetudine nei testi dell'epoca, il cerchio non indica una figura piana ma una figura solida cioè una sfera; il punto di caduta è individuato dividendo il diametro della sfera in tre parti uguali AH, HK, KE e mandando da H la perpendicolare ad AE che intercetta un punto X sulla sfera. Il segmento AX così ottenuto ha la proprietà di essere lo spigolo del cubo inscritto nella sfera, e la sezione aurea di questo spigolo è lo spigolo del dodecaedro inscritto nella medesima sfera. È la proposizione XVII del libro XIII degli Elementi.

Un’ulteriore ipotesi, senz'altro più remota perché poco coerente con il contesto del quadro, è sempre sulla sezione aurea.

Il segmento incompleto, e incompreso, cade in un punto della circonferenza individuato mediante la costruzione tipica della sezione aurea. Ovvero AG = AE e tra loro perpendicolari, si congiunge poi G col centro della circonferenza D individuando X sulla circonferenza. Si unisce poi X con E. Vale un rapporto aureo tra i segmenti così ottenuti:

(AX + XE) : XE = XE : AX.

Questa è una delle proprietà della sezione aurea che Pacioli elenca nella Divina proportione, tuttavia mi pare poco per credere che sia questo il caso in questione.

Infine potrebbe essere che Pacioli ci sfida a trovare un’altra dimostrazione della proposizione VIII libro XIII, diversa dalla dimostrazione euclidea. Dato il personaggio non è da escludere al cento per cento.