Questa geometria si ottiene sostituendo al quinto postulato di Euclide il seguente : “Ogni retta s passante per il punto P incontra sempre la retta prefissata r”
Questo postulato nega il quinto postulato in relazione all’esistenza della parallela ad una retta condotta per un punto.
Anch’essa sarà non contraddittoria ,ossia non porterà mai ad affermare un asserto e contemporaneamente ad affermare l’asserto opposto, se è possibile trovare un modello capace di soddisfare sia i primi 4 postulati euclidei sia questo nuovo elaborato da Riemann.
Come enti primitivi della geometria di Riemann consideriamo:
- il piano di Riemann costituito da qualunque superficie sferica (fig. 15)
- il punto di Riemann costituito da una qualunque coppia di punti diametralmente opposti alla superficie sferica (fig. 16)
- la retta di Riemann costituita da una qualsiasi circonferenza massima (fig. 6)
fig. 15 fig. 16
Ad esempio il postulato “Per due punti del piano passa una sola retta” è soddisfatto?
Sì,perché fissati due punti diametralmente opposti.
P’= (A,B) e P’’= (C,D)
è unica la retta di Riemann,ossia la circonferenza massima passante per essi. (fig. 17)
fig. 17 fig. 18
Ad esempio,il postulato “Per un punto del piano passano infinite rette” è soddisfatto?
Sì,perché fissato un punto di Riemann,ossia due punti diametralmente opposti,allora per esso passano infinite rette di Riemann,ossia infinite circonferenze massime. (fig. 18)
Il nuovo postulato è soddisfatto perché fissato un punto di Riemann e una retta di Riemann (ossia una coppia di punti diametralmente opposti e una circonferenza massima) allora ogni altra retta di Riemann passante per il punto di Riemann interseca sempre la circonferenza massima in due punti diametralmente opposti,ossia in un punto di Riemann. (fig. 19)
fig. 19
In conclusione non esiste alcuna retta di Riemann passante per un punto di Riemann e parallela a una prefissata retta di Riemann:questa nuova geometria è pertanto valida al pari della geometria euclidea.
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