"Quadrasi riempiendo il triangolo colle quattro falcate di fuori"

L'immagine qui sopra (autoprodotta in modo artigianale) riproduce il diagramma campione indicato nel precedente post sulla "geometria delle trasformazioni" di Leonardo da Vinci. 

Si tratta della settima immagine della prima linea della parte destra del folio 455 del Codice Atlantico. Il testo al di sotto del diagramma campione è il seguente: 

"Quadrasi riempiendo il triangolo colle quattro falcate di fuori".

Ho trovato uan buona spiegazione che può far capire il modo di ragionare di Leonardo espresso sinteticamente nella frase precedente.

All'interno del semicerchio di raggio R, si disegnano quattro semicerchi aventi raggio pari a R/2. 

Le falcate indicate sono le aree bianche contraddistinte dalla lettera F.

Il testo scritte chiede di "riempire"  le aree bianche con le falcate: questo è possibile solo se le aree F e B sono uguali. Spieghiamo perché.

Partendo dall'area del quadrato, è noto (e Leonardo lo sapeva) che essa è proporzionale al quadrato del raggio e lo stesso vale per l'area del semicerchio: la costante di proporzionalità in questo caso risulta (almeno a noi) pari a π/2. Quindi l'area del semicerchio grande è quattro volte l'area di ciascuno dei semicerchi inscritti.

Poiché l'area del segmento circolare dipende solo dal raggio (ancora al quadrato) e dall'angolo formato, che in questo caso è sempre 90°, anche l'area del segmento grande (composta da due falcate F e da due segmenti piccoli B) è quattro volte l'area del segmento circolare piccolo.

Sottraendo, ora, due segmenti piccoli dal segmentto grande, l'area della figura curvilinea che rimane, composta da due falcate è uguale all'area sottratta: dunque l'area della falcata F è uguale all'area del segmento B.